Spazio vettoriale
sapreste darmi una definizione chiara di spazio vettoriale?
grazie mille
p.s. sono in quarta scientifico
grazie mille
p.s. sono in quarta scientifico
Risposte
.............Vediamo....Perti dal presupposto che uno spazio vettoriale è un insieme di enti che verificano determinate proprietà (in realtà sono solo 2 proprietà) Comunque si definisce spazio vettoriale su $R$ o più in generale $C$ un insieme non vuoto che chiameremo V tale che:
1) per ogni coppia fi elementi v,w appartenenti a V è definito un terzo elemento v+w che chiameremo somma di v+w
2)$V$
1) per ogni coppia fi elementi v,w appartenenti a V è definito un terzo elemento v+w che chiameremo somma di v+w
2)$V$
2) Per ogni v appartenente a V e per ogni k appartenente ad $R$ o $C$ è definito un altro elemento di V che chiameremo prodotto di V per uno scalare k.
Logicamente sono verificate tutte le proprietà associativa, distributiva della somma rispetto al prodotto, esiste l'elemento neutro della somma e tante belle cose.... Anche se al liceo io non sapevo nemmeno esistessero spazi vettoriali.... Se vuoi vai a leggere un post nel forum Università dove si è un po parlato degli spazi vettoriali e come affrontarli.....ne è uscito fuori che puoi vedere un vettore come una patata classificata in base alle dimensioni e livello di cottura.... definizione che reputo molto interessante.... ciao
Logicamente sono verificate tutte le proprietà associativa, distributiva della somma rispetto al prodotto, esiste l'elemento neutro della somma e tante belle cose.... Anche se al liceo io non sapevo nemmeno esistessero spazi vettoriali.... Se vuoi vai a leggere un post nel forum Università dove si è un po parlato degli spazi vettoriali e come affrontarli.....ne è uscito fuori che puoi vedere un vettore come una patata classificata in base alle dimensioni e livello di cottura.... definizione che reputo molto interessante.... ciao
Io trovo un po' difficile dare una definizione di spazio vettoriale che sia "chiara". Cioè, nella mia testa è abbastanza chiara, ma potrebbe essere (anzi: è) perché ci sono abituato.
Comunque lo scrivo: uno spazio vettoriale su $RR$ è il dato di un insieme V e di due funzioni
$RR \times V \to V$, $(r,v) to rv$ (prodotto per scalare)
$V \times V \to V$, $(v,w) to v+w$ (somma)
tali che:
1) Esiste un elemento di V, chiamato 0, tale che $v+0=0+v=v$ per ogni $v \in V$ (esistenza elemento neutro per la somma)
2) Per ogni $v \in V$ esiste un elemento $w \in V$, chiamato $-v$, tale che $v+w=0$ (esistenza inverso rispetto alla somma)
3) $(v+w)+z=v+(w+z)$ per ogni $v,w,z \in V$ (proprietà associativa della somma)
4) $r(sv)=(rs)v$ per ogni $r,s \in RR$, $v \in V$ (proprietà associativa del prodotto per scalare)
5) $v+w=w+v$ per ogni $v,w \in V$ (proprietà commutativa della somma)
6) $r(v+w)=rv+rw$ per ogni $v,w \in V$, $r \in RR$ (proprietà distributiva del prodotto per scalare rispetto alla somma in V)
7) $(r+s)v=rv+sv$ per ogni $v \in V$, $r,s \in RR$ (proprietà distributiva del prodotto per scalare rispetto alla somma in $RR$)
8) $1 \cdot v=v$ per ogni $v \in V$ (azione nulla)
PS: sì, sono io quello del vettore-patata
.. infatti, ho forse detto qualcosa sugli elementi di V in questa definizione? Possono essere anche bottiglie d'acqua, basta che le proprietà siano soddisfatte 
Ciao
Comunque lo scrivo: uno spazio vettoriale su $RR$ è il dato di un insieme V e di due funzioni
$RR \times V \to V$, $(r,v) to rv$ (prodotto per scalare)
$V \times V \to V$, $(v,w) to v+w$ (somma)
tali che:
1) Esiste un elemento di V, chiamato 0, tale che $v+0=0+v=v$ per ogni $v \in V$ (esistenza elemento neutro per la somma)
2) Per ogni $v \in V$ esiste un elemento $w \in V$, chiamato $-v$, tale che $v+w=0$ (esistenza inverso rispetto alla somma)
3) $(v+w)+z=v+(w+z)$ per ogni $v,w,z \in V$ (proprietà associativa della somma)
4) $r(sv)=(rs)v$ per ogni $r,s \in RR$, $v \in V$ (proprietà associativa del prodotto per scalare)
5) $v+w=w+v$ per ogni $v,w \in V$ (proprietà commutativa della somma)
6) $r(v+w)=rv+rw$ per ogni $v,w \in V$, $r \in RR$ (proprietà distributiva del prodotto per scalare rispetto alla somma in V)
7) $(r+s)v=rv+sv$ per ogni $v \in V$, $r,s \in RR$ (proprietà distributiva del prodotto per scalare rispetto alla somma in $RR$)
8) $1 \cdot v=v$ per ogni $v \in V$ (azione nulla)
PS: sì, sono io quello del vettore-patata
.. infatti, ho forse detto qualcosa sugli elementi di V in questa definizione? Possono essere anche bottiglie d'acqua, basta che le proprietà siano soddisfatte Ciao
"sonda90":
sapreste darmi una definizione chiara di spazio vettoriale?
grazie mille
p.s. sono in quarta scientifico
ma fate queste cose a scuola? Quanto sarebbe bello... in IV algebra lineare e poi in quinta direttamente analisi complessa e trasformate... sarebbe fantastico...
Pol
Paolo90 sei un masochista!
ringrazio per le risposte e maggiormente Ingegnerepersbaglio oltre che a Martino, ho chiarito di molto le idee ,)
scusate dove posso trovare il topic sulle patate? mi interessa questa interpretazione, dato che per ora il concetto di spazio vettoriale continua ad apparirmi un pò astratto...
klarence ti ho mandato un PM
"alvinlee88":
scusate dove posso trovare il topic sulle patate? mi interessa questa interpretazione, dato che per ora il concetto di spazio vettoriale continua ad apparirmi un pò astratto...
Questo è il post dove ho accennato alle patate. Però ho paura che non ti aiuterà a concretizzare l'idea di spazio vettoriale, anzi...
(e non solo perché nel sulinkato post parlo dei punti dello spazio affine).Credo che la cosa giusta da fare sia pensare ad uno spazio vettoriale come a quello che è, ovvero ad un gruppo additivo commutativo V dotato di un'azione di un campo che sia "compatibile" con la struttura di gruppo. Ogni volta che lo riduci ad una idea intuitiva a mio parere perdi qualcosa.
"Ingegnerepersbaglio":
Paolo90 sei un masochista!
Bellissima, comunque, questa parte. Come tutta la Matematica, del resto. Paolo
Lasciando perdere le patate e assecondando Martino credo che l'unico modo utile (i primi tempi) per capire gli spazi vettoriali come del resto tutta l'algebra lineare sia quello di evitare esempi numerici perchè se in qualche caso possono sembrare illuminanti in altri danno risultati catastrofici!
scusate dove posso trovare il topic sulle patate? mi interessa questa interpretazione, dato che per ora il concetto di spazio vettoriale continua ad apparirmi un pò astratto...Credo quindi sia meglio che rimanga un concetto astratto perchè in fin dei conti lo è!
"Paolo90":
ma fate queste cose a scuola? Quanto sarebbe bello... in IV algebra lineare e poi in quinta direttamente analisi complessa e trasformate... sarebbe fantastico...
Pol
Per fortuna non le fanno!!!!! se le facessero sarebbe una cosa disastrosa!!!!!
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
e poi non penso che i tuoi compagni di classe sarebbero molto contenti...
capisco capisco..ero semplicemente curioso..
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