Sottoinsiemi propri e impropri

[Goldmoon*11]

Vi pongo un quesito su questo esercizio:

Siano dati due insiemi A e B; se $AnnB=A$ quali delle seguenti affermazioni sono vere?

1. $AsubeB$
2. $BsubeA$
3. $AuuB=A$

La terza è vera e siamo sicuri. Ho un dubbio sulle prime due, il testo mi dice che 1 è vera mentre 2 è falsa. Allora la risposta 1 mi dice che A è sottoisieme di B, ma non si può escludere che A e B siano uguali. E io mi chiedo: se non si può escludere che A e B siano uguali perchè la seconda è falsa? Nel caso in cui A=B, A sarebbe sottoinsieme di B e viceversa, giusto?

So che sembra una domanda stupida ma sto cercando di schiarirmi le idee
Grazie a chi mi vorrà dare una mano

[axpgn]

Ma sei proprio sicuro della terza?
L'ipotesi $A nn B = A$ significa che TUTTI (e soli) gli elementi di $A$ sono anche elementi di $B$ ma può esistere qualche elemento di $B$ che non è elemento di $A$.
Quindi $A$ è sottoinsieme di $B$ ($A sube B$) ma non è vero il viceversa (e tantomeno la 3.)

Cordialmente, Alex

[garnak.olegovitc1]

"Goldmoon*":Vi pongo un quesito su questo esercizio:
Siano dati due insiemi A e B; se $AnnB=A$ quali delle seguenti affermazioni sono vere?
1. $AsubeB$
2. $BsubeA$
3. $AuuB=A$
La terza è vera e siamo sicuri.

siamo? sei , da cosa deduci la tua sicurezza?

"Goldmoon*":Ho un dubbio sulle prime due, il testo mi dice che 1 è vera mentre 2 è falsa. Allora la risposta 1 mi dice che A è sottonisieme di B, ma non si può escludere che A e B siano uguali. E io mi chiedo: se non si può escludere che A e B siano uguali perchè la seconda è falsa? Nel caso in cui A=B, A sarebbe sottoinsieme di B e viceversa, giusto?
So che sembra una domanda stupida ma sto cercando di schiarirmi le idee
Grazie a chi mi vorrà dare una mano

mmm prova a dimostrarle giustamente, è quello che ti viene chiesto in effetti ... ad esempio per la \(3^a\) si potrebbe ragionare trovando un controesempio, pensandoci un po sopra se \( A =\emptyset\) non penso che sia vero in generale che \( \emptyset \cup B= \emptyset\) avendo per ipotesi \( \emptyset \cap B= \emptyset\)

-nel dimostrare se \( A \subseteq B \) avendo per ipotesi \( A \cap B =A \), prendi un \(x \in A \) e devi mostrare con una serie di passaggi deduttivi che \(x \in B \); per ipotesi \( A \cap B=A \) quindi se \(x \in A \) allora \( x \in A \cap B \) ovvero \( x \in A \wedge x \in B \) quindi \( x \in B \)
- nel dimostrare se \( B \subseteq A \) avendo per ipotesi \( A \cap B =A \), prendi \( x \in B \) e anche qui devi mostrare con una serie di passaggi deduttivi che \(x \in A \); un controesempio è la via migliore, in particolare se \( A=\emptyset \) e \( B \neq \emptyset\) si avrà l'ipotesi \( \emptyset \cap B=\emptyset\) ma è falso \( B \subseteq A\) (se fosse vero allora \( \exists x \in B ( x \in A= \emptyset) \) avendo un assurdo)

[Goldmoon*11]

Per quanto riguarda la terza risposta avete ragione, ragionando ho ipotizzato che:

$ A={4,5}$
$ B={1,2,3,4,5}$

quindi $AuuB=B$, corretto?

Grazie mille per le vostre risposte

[garnak.olegovitc1]

"Goldmoon*":Per quanto riguarda la terza risposta avete ragione, ragionando ho ipotizzato che:
$ A={4,5}$
$ B={1,2,3,4,5}$
quindi $AuuB=B$, corretto?
Grazie mille per le vostre risposte

in quel caso particolare mi sembra ovvio

[axpgn]

... ma è il caso previsto dall'esercizio ...

Cordialmente, Alex