Sommatorie
sto lavorando per la tesina ma, non avendole fatte a scuola, ho trovato un ostacolo nelle sommatorie. la sommatoria è questa: $\sum_{k=0}^a k(a-k)$ .
esiste una tecnica di risoluzione? su wikipedia ho trovato questo: $\sum_{m}^n i = ((n-m+1)(n+m))/2$ ma il caso è diverso. c'è una formula universale o devo adattarmi al caso che trovo? riuscendo a risolvere questa sommatoria, potete descrivermi anche il ragionamento dato che dovrò esporlo in sede di esame? meglio ancora se riesco a fare qualche collegamento con il fatto che $y = -k^2+ak$ con $a,k>0$ descrive una parabola avente fuoco in $(a/2;(a^4)/4)$ e la sommatoria non è altro che la somma dei prodotti tra le coordinate intere dello stesso punto.
grazie mille
esiste una tecnica di risoluzione? su wikipedia ho trovato questo: $\sum_{m}^n i = ((n-m+1)(n+m))/2$ ma il caso è diverso. c'è una formula universale o devo adattarmi al caso che trovo? riuscendo a risolvere questa sommatoria, potete descrivermi anche il ragionamento dato che dovrò esporlo in sede di esame? meglio ancora se riesco a fare qualche collegamento con il fatto che $y = -k^2+ak$ con $a,k>0$ descrive una parabola avente fuoco in $(a/2;(a^4)/4)$ e la sommatoria non è altro che la somma dei prodotti tra le coordinate intere dello stesso punto.
grazie mille
Risposte
Suppongo che a e k siano valori interi e che tu sappia le formule :
$\sum_{k=1}^a k ={a(a+1)}/2, \sum_{k=1}^a k^2={a(a+1)(2a+1)}/6$
[ho fatto partire k da 1 anziché da 0 in quanto per k=0 il termine k(a-k) si annulla e non porta contributo alla sommatoria. Egualmente si potrebbe fare arrivare k ad a-1 anziché ad a perché il termine k(a-k) si annulla per k=a. Ma non lo faccio per non far perdere simmetria alle formule.]
A questo punto puoi spezzare la sommatoria data in due sommatorie :
$\sum_{k=1}^a k(a-k)=a\sum_{k=1}^ak-\sum_{k=1}^a k^2$
Applicando le formule precedenti hai :
$\sum_{k=1}^a k(a-k)=a\cdot {a(a+1)}/2-{a(a+1)(2a+1)}/6={a^3-a}/6$
$\sum_{k=1}^a k ={a(a+1)}/2, \sum_{k=1}^a k^2={a(a+1)(2a+1)}/6$
[ho fatto partire k da 1 anziché da 0 in quanto per k=0 il termine k(a-k) si annulla e non porta contributo alla sommatoria. Egualmente si potrebbe fare arrivare k ad a-1 anziché ad a perché il termine k(a-k) si annulla per k=a. Ma non lo faccio per non far perdere simmetria alle formule.]
A questo punto puoi spezzare la sommatoria data in due sommatorie :
$\sum_{k=1}^a k(a-k)=a\sum_{k=1}^ak-\sum_{k=1}^a k^2$
Applicando le formule precedenti hai :
$\sum_{k=1}^a k(a-k)=a\cdot {a(a+1)}/2-{a(a+1)(2a+1)}/6={a^3-a}/6$
"ciromario":
Suppongo che a e k siano valori interi e che tu sappia le formule :
$\sum_{k=1}^a k ={a(a+1)}/2, \sum_{k=1}^a k^2={a(a+1)(2a+1)}/6$
[ho fatto partire k da 1 anziché da 0 in quanto per k=0 il termine k(a-k) si annulla e non porta contributo alla sommatoria. Egualmente si potrebbe fare arrivare k ad a-1 anziché ad a perché il termine k(a-k) si annulla per k=a. Ma non lo faccio per non far perdere simmetria alle formule.]
A questo punto puoi spezzare la sommatoria data in due sommatorie :
$\sum_{k=1}^a k(a-k)=a\sum_{k=1}^ak-\sum_{k=1}^a k^2$
Applicando le formule precedenti hai :
$\sum_{k=1}^a k(a-k)=a\cdot {a(a+1)}/2-{a(a+1)(2a+1)}/6={a^3-a}/6$
volevo far partire k da 0 e farlo arrivare ad a solo per comprendere i punti sull'asse k della relativa parabola, comunque grazie mille era esattamente quello che cercavo e in parte me lo sarei dovuto aspettare dato che il ragionamento era partito dalla scomposizione del cubo di un numero intero ed ero arrivato a dire $a^3 = a +6\sum_{k=0}^a k(a-k)$ , solo che speravo di sviluppare la sommatoria in una forma alternativa.. diciamo che l'intento, anche se so già di non esserne in grado, era l'ultimo teorema di fermat per n=3, tanto per passare un po' il tempo durante le materie noiose...grazie lo stesso!
un'ultima domanda: esiste un teorema o qualcosa che mi possa aiutare nel dire che $a^3 - (a-1)^3 = n° primo$ ?? per ora è una cosa che ho notato (diciamo sperimentalmente) ma che non sono riuscito a dimostrare...
Se interpreto bene la tua ultima domanda, stai chiedendo se la differenza dei cubi di due numeri consecutivi è sempre un numero primo...La risposta è negativa: è sufficiente prendere i numeri 7 ed 8 per calcolare che $8^3-7^3=169=13^2$
Penso invece che si possa dire che tale differenza è sempre il multiplo di un numero primo.
Penso invece che si possa dire che tale differenza è sempre il multiplo di un numero primo.
Cosa volevi dire? Qualsiasi naturale maggiore di uno è sempre il multiplo di un numero primo.
Per la differenza fra cubi, consiglio di guardare qui
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