Sommatoria particolare

[fabio.ori.1]

Salve a tutti,
sto cercando di dimostrare che
\[
\sum_{k=0}^{n-1}\cos{\frac{2k\pi}{n}}=0 \ ,
\]
risultato che ho ottenuto con un elaboratore elettronico.
Grazie in anticipo

[kobeilprofeta]

ciao, vedila cosí:
$frac{2}{n}*(cos 0+cos(1/n*2pi)+cos(2/n*2pi)+...+cos((n-1)/n*2pi))$
Ecco ora (supponendo n pari, ma funziona anche per n dispari) accoppia il primo termine con l'ultimo, il penultimo con il secondo, etc...
noti che $0+n-1=1+n-2=2+n-3=...=n-1$

ora usa prostaferesi:
$cos p+ cos q= 2*cos(frac{p+q}{2})*cos(frac{p-q}{2})$
ora noto che $cos(frac{p+q}{2})=cos (frac{(n-1)*pi}{2})$

se $n$ è pari, $n-1$ è dispari e $frac{(n-1)*pi}{2}$ è un multiplo di $pi/2$, da cui il coseno nullo.

non so se si è capito...

[donald_zeka]

È banalmente vero che se al posto del coseno ci fosse il seno l'uguaglianza sarebbe vera per evidente simmetria, dunque invece di dimostrare che la somma dei coseni fa 0, si dimostra più in generale che la somma dei seni e coseni fa 0. Ma la somma dei seni e coseni equivale alla somma delle radici n-esime di 1, ossia le soluzioni di:
$x^n−1=0$

Ma $x^n−1=(x−1)(x^n−1+x^(n−2)+...+x+1)$
Poiché una radice è sempre 1, noi si deve dimostrare che la somma delle radici n-esime meno la radice 1 equivale a -1, ma questò è vero dato che le radici n-esime di 1 tranne 1 sono le soluzioni del polinomio che moltiplica (x−1) e per le formule di Viete la loro somma è uguale al valore del termine noto cambiato di segno, ossia −1. CVD.
Scusa per i termini poco tecnici ma sono sul cellulare e mi riesce difficile scrivere le formule, spero comunque di essermi spiegato, ovviamente devi conoscere i numeri complessi per poter capire la dimostrazione.

[donald_zeka]

Ooops ho detto una gran cavolata!
La somma delle radici di un polinomio monico di grado n equivale al coefficiente del termine di grado n-1 cambiato di segno! Ergo la dimostrazione è ancora più banale dato che $x^n-1=(x-z_1)(x-z_2)*...(x-z_(n-1))*(x-1)$ E quindi la somma delle radici di 1 equivale al coefficiente del termine di grado n-1 cambiato di segno, ossia 0. CVD (questa volta per bene).

[donald_zeka]

Altrimenti se non vuoi accettare come evidente il fatto che la somma dei seni faccia 0, puoi dimostrare che la somma dei seni e coseni vale 0 per k che va da 0 a n-1, ma essendo la somma di sen e cos uguale alla somma delle radici ennesime di 1 ed essendo questa uguale a 0 significa che la parte reale della somma vale 0 e la parte immaginaria vale 0, ma la parte reale è la somma dei cos e la parte immaginaria è la somma dei sen, quindi sia la somma dei sen che la somma dei cos vale 0.