Sommatoria
Quanto vale la somma di 1+2+2+3+3+4+4.....+35+35+36?
Ecco, dato che sono alle prime armi con le sommatorie, potreste suggerirmi come impostarla e calcolarne la somma? Il quesito viene dall'Archimede di quest'anno, del biennio. E' semplice da risolvere ma mi interessa svolgerlo con la sommatoria.
Ecco, dato che sono alle prime armi con le sommatorie, potreste suggerirmi come impostarla e calcolarne la somma? Il quesito viene dall'Archimede di quest'anno, del biennio. E' semplice da risolvere ma mi interessa svolgerlo con la sommatoria.
Risposte
Puoi osservare che
[tex]1+2+2+3+3+\cdots+35+35+36= 2\displaystyle\sum_{n=1}^{35} n -1+36=2\frac{35(35+1)}{2} +35=35*36 +35 = 35(36+1)=(36+1)(36-1)=(36^2 -1)[/tex]
Gli ultimi passaggi sono solo vezzi di calcolo
.
Paola
[tex]1+2+2+3+3+\cdots+35+35+36= 2\displaystyle\sum_{n=1}^{35} n -1+36=2\frac{35(35+1)}{2} +35=35*36 +35 = 35(36+1)=(36+1)(36-1)=(36^2 -1)[/tex]
Gli ultimi passaggi sono solo vezzi di calcolo
.Paola
Puoi spiegarmi a parola quello che hai fatto?
Ho capito che hai usato la somma dei quadrati, ma non riesco ad impostarla, qual è il trucco?
Comunque è giustissimo, il risultato viene. Complimenti e grazie della pazienza!
Ho capito che hai usato la somma dei quadrati, ma non riesco ad impostarla, qual è il trucco?
Comunque è giustissimo, il risultato viene. Complimenti e grazie della pazienza!
Ha usato la formula di Gauss
$1+2+3+4+ ... +n = $n*(n+1))/2$
$1+2+3+4+ ... +n = $n*(n+1))/2$
Non vedo il Latex! C'è scritto "mimeTex failed to render your expression".
Grazie degli aiuti, ho capito che per risolvere bisogna necessariamente ricondursi alle formule chiuse, quello che però trovo complicato, probabilmente a causa dell'inesperienza, è scrivere una somma sottoforma di sommatoria. Perciò faccio una prova con un altro esercizio
[(596-2) + (596-4) + (596-6) + (596-8) + (596-10) .... + (596-596)] x 6
Ci provo, vi chiedo però di correggermi!!
[tex]6\cdot{\displaystyle\sum_{n=1}^{298} (596-2n)}= 6\cdot596\cdot 298-2\cdot\displaystyle\sum_{n=1}^{298} n)=6\cdot(177608-2\cdot\frac{298\cdot299}{2})[/tex]
[tex]6\cdot(177608-89102)=6\cdot88506=531036[/tex]
Probabilmente avrò sbagliato dei calcoli, l'importante è che il concetto sia giusto.
Avreste qualche esercizio da proporre, mi servirebbero dato che sul mio libro di Analisi mancano
?
Grazie degli aiuti, ho capito che per risolvere bisogna necessariamente ricondursi alle formule chiuse, quello che però trovo complicato, probabilmente a causa dell'inesperienza, è scrivere una somma sottoforma di sommatoria. Perciò faccio una prova con un altro esercizio
[(596-2) + (596-4) + (596-6) + (596-8) + (596-10) .... + (596-596)] x 6
Ci provo, vi chiedo però di correggermi!!
[tex]6\cdot{\displaystyle\sum_{n=1}^{298} (596-2n)}= 6\cdot596\cdot 298-2\cdot\displaystyle\sum_{n=1}^{298} n)=6\cdot(177608-2\cdot\frac{298\cdot299}{2})[/tex]
[tex]6\cdot(177608-89102)=6\cdot88506=531036[/tex]
Probabilmente avrò sbagliato dei calcoli, l'importante è che il concetto sia giusto.
Avreste qualche esercizio da proporre, mi servirebbero dato che sul mio libro di Analisi mancano
?
Mi sembra tutto corretto. Bravo hai capito
Comunque quello che ha scritto @melia è questo: $1+2+3+4+....+n=(n*(n+1))/2$
Comunque quello che ha scritto @melia è questo: $1+2+3+4+....+n=(n*(n+1))/2$
Grazie mille Gi8!
Prego 
Ti faccio solo un appunto per evitare ambiguità di scrittura:
tu hai scritto $sum_(n=1)^(298) 596-2n$. In realtà, se scrivi così, senza mettere delle parentesi tonde, intendi che il $-2n$ sia fuori dalla sommatoria.
E' pertanto più corretto scrivere $sum_(n=1)^(298)( 596-2n)$
Ti faccio solo un appunto per evitare ambiguità di scrittura:tu hai scritto $sum_(n=1)^(298) 596-2n$. In realtà, se scrivi così, senza mettere delle parentesi tonde, intendi che il $-2n$ sia fuori dalla sommatoria.
E' pertanto più corretto scrivere $sum_(n=1)^(298)( 596-2n)$
Perfetto, terrò a mente il consiglio, pertanto edito subito l'errore.
Ci provo. (Spero sia corretto)
Scrivo l'idea: il piano più alto avrà 1+2+3+4+5.....+221=24531 gradini, per trovare il numero di gradini dei piani più in basso uso questa relazione: (24531-221)+(24531-221-220)+.....+(24531-221-220-219.....-2), divido il risultato per 221.
[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{221} n=\frac{221\cdot222}{2}=24531[/tex]
[tex]\displaystyle\sum_{n=2}^{221}(24531-n^2)=24531\cdot 221-\frac{221\cdot222\cdot443}{6}+1=1798941[/tex]
[tex]1798941+24530=1823471[/tex]
[tex]\displaystyle\frac{1823471}{221}=8251[/tex]
Io tutte quelle moltiplicazioni le ho fatte con la calcolatrice, esiste un modo furbo per abbreviare i calcoli
?
(Spero sia corretto)Scrivo l'idea: il piano più alto avrà 1+2+3+4+5.....+221=24531 gradini, per trovare il numero di gradini dei piani più in basso uso questa relazione: (24531-221)+(24531-221-220)+.....+(24531-221-220-219.....-2), divido il risultato per 221.
[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{221} n=\frac{221\cdot222}{2}=24531[/tex]
[tex]\displaystyle\sum_{n=2}^{221}(24531-n^2)=24531\cdot 221-\frac{221\cdot222\cdot443}{6}+1=1798941[/tex]
[tex]1798941+24530=1823471[/tex]
[tex]\displaystyle\frac{1823471}{221}=8251[/tex]
Io tutte quelle moltiplicazioni le ho fatte con la calcolatrice, esiste un modo furbo per abbreviare i calcoli
?
Corretto.
L'unica furbizia nei calcoli sta nel semplificare le frazioni e fare raccoglimenti.
L'unica furbizia nei calcoli sta nel semplificare le frazioni e fare raccoglimenti.
Ok.
Eccomi con un altro quesito da chiedervi:
Se [tex]x[/tex] è un numero reale positivo, si denoti [tex][x][/tex] la parte intera di [tex]x[/tex], cioè il massimo intero [tex]n \le{x}[/tex].
Si calcoli la somma:
[tex]$\displaystyle\sum_{n=1}^{1000000} [\sqrt{n}] $[/tex]
L'ho svolta normalmente ma il risultato non è venuto, sfruttando cioè sempre la solita formula, il problema è la radice?
Eccomi con un altro quesito da chiedervi:
Se [tex]x[/tex] è un numero reale positivo, si denoti [tex][x][/tex] la parte intera di [tex]x[/tex], cioè il massimo intero [tex]n \le{x}[/tex].
Si calcoli la somma:
[tex]$\displaystyle\sum_{n=1}^{1000000} [\sqrt{n}] $[/tex]
L'ho svolta normalmente ma il risultato non è venuto, sfruttando cioè sempre la solita formula, il problema è la radice?
Si, l'approccio è lo stesso..
Considera che $1$ si ottiene con la radice di tutti i numeri da $1$ a $3$, $2$ per tutti i numeri da $4$ a $9$ e così via..
Quindi verrebbe:
$1*3 + 2*5 + 3*7 + ... + 999*1999$ (il $1000$ è unico è lo tengo da parte al momento).
$1+2$ $+$ $1+2+3+4$ $+$ $1+2+3+4+5+6...$
$2*(999*1000*1999)/6 + (999*1000)/2 + 1000= 666167500$
Corretti i conti xD (Scusa se impiego molto tempo, ma oggi matematicamente.it va lentissimo, manco lo stessero DoSando xD
Considera che $1$ si ottiene con la radice di tutti i numeri da $1$ a $3$, $2$ per tutti i numeri da $4$ a $9$ e così via..
Quindi verrebbe:
$1*3 + 2*5 + 3*7 + ... + 999*1999$ (il $1000$ è unico è lo tengo da parte al momento).
$1+2$ $+$ $1+2+3+4$ $+$ $1+2+3+4+5+6...$
$2*(999*1000*1999)/6 + (999*1000)/2 + 1000= 666167500$
Corretti i conti xD (Scusa se impiego molto tempo, ma oggi matematicamente.it va lentissimo, manco lo stessero DoSando xD
Durante un po' di tempo libero ci ho pensato ed ho trovato questa soluzione:
[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{999}(2n^2+n)+1000[/tex]
Ho svolto i calcoli ed è venuto .
Un'ultima domanda: sapreste consigliarmi un buon libro su sommatorie e produttorie (in italiano )?
Ho il corso di analisi base della zanichelli, ma non ne accenna proprio
.
[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{999}(2n^2+n)+1000[/tex]
Ho svolto i calcoli ed è venuto
.Un'ultima domanda: sapreste consigliarmi un buon libro su sommatorie e produttorie (in italiano
)?Ho il corso di analisi base della zanichelli, ma non ne accenna proprio
.
A che livello ti serve conoscerle? Perchè se si tratta di qualcosa di limitato ci sono delle dispense (che le accennano, ma il fine non è quello).
Diciamo a livello olimpico.
Ma non mi dispiacerebbe qualcosa di avanzato, ovviamente non troppo .
Ma non mi dispiacerebbe qualcosa di avanzato, ovviamente non troppo
.
Ecco.. allora avrei una dispensa il cui fine è proprio quello (che coincidenza), però chiaramente non ti aspettare un discorso sulle sommatorie... Ci sono degli argomenti di teoria dei numeri e algebra in cui a volte salta fuori qualche sommatoria (come nelle progressioni algebriche e geometriche).
La dispensa è divisa in sezioni: logica, teoria dei numeri, algebra, calcolo combinatiorio, geometria.
Forse la conosci già, visto che è una delle prime che si reperiscono sul web googlando.
La dispensa è divisa in sezioni: logica, teoria dei numeri, algebra, calcolo combinatiorio, geometria.
Forse la conosci già, visto che è una delle prime che si reperiscono sul web googlando.
Potresti darmi direttamente il link?
Ti ringrazio della disponibilità.
Ti ringrazio della disponibilità.
http://www.liceomcurie.it/dispense_olimpioniche.pdf
Bene o male dovrebbe darti comunque tutte le nozioni necessarie sugli argomenti affrontati.
Bene o male dovrebbe darti comunque tutte le nozioni necessarie sugli argomenti affrontati.
Grazie mille!
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