Sommatoria

[G.D.5]

mi aiutate a calcolare questa sommatoria
$\sum_{k=1}^{89}sin^2k$
secondo i miei conti viene $\frac{89}{2}$
è giusto???

[codino75]

"WiZaRd":mi aiutate a calcolare questa sommatoria
$\sum_{k=1}^{89}sin^2k$
secondo i miei conti viene $\frac{89}{2}$
è giusto???

non ho la piu' pallida idea di come si possa fare...

[TomSawyer1]

E' giusto, $44.5$.

[Sk_Anonymous]

Una dimostrazione diretta del risultato e' la seguente.
$S=sin^2 1+sin^2 2+...+sin^2 45+...+sin^2 88+sin^2 89$
Oppure:
$S=(1-cos2)/2+(1-cos4)/2+...+(1-cos90)/2+...+(1-cos176)/2+(1-cos178)/2$
Od anche:
$s=(89)/2-[(cos2+cos4+...+cos90+..+cos176+cos178)/2]$
Se gli angoli sono in gradi sessagesimali allora la somma in parentesi quadra e' nulla
perche ' e' nullo il termine centrale ed i termini
equidistanti da esso sono opposti in quanto coseni di argomenti supplementari.
Pertanto $S=89/2=44.5$
karl

[desko]

Excel dice:
se k è in radianti S=44,7289885306458, se invece k è in gradi sessagesimali S=44,3905899256916.
Errore di approsimazione?
Proverò? con MatLab e Mathematica.

[Sk_Anonymous]

Le due somme non sono uguali se calcolate con misure angolari diverse.
Per angoli in gradi sessag. il valore esatto e' quello che ho riportato ( insieme ad altri).
Per i radianti occorre considerare che ,ad esempio,cos(90)=-0.4448 [circa] e che i coseni di angoli
la cui somma sia 180 radianti non sono piu' opposti .
In tal caso la somma e' leggermente superiore : S=44.72 [circa]
karl

[TomSawyer1]

Per un'altra dimostrazione, tenendo conto di $\sinx=\cos(\pi/2-x)$ e $\sin^2x+\cos^2x=1$, basta accoppiare simmetricamente i $sin^2x$ e $\cos^2x$, per ottenere $44*1+\sin^2 45°=44.5$.