Sommabilità

[Sk_Anonymous]

Studiando la sommabilità in $]0,b]$:
$f(x)$ continua in $]0, b]$
$\lim_{x \to 0} x^{\alpha} f(x) = l > 0
allora ${(\text{f non è sommabile},\text{se }\alpha >=1),(\text{f è sommabile},\text{se }\alpha <1):}$

Tutto questo per indicare a quale $\alpha$ mi riferisco.

La funzione $f(x) = \frac{x + 1}{\sqrt{x}(x^2 + 1)}$, di cui si vuole studiare la sommabilità in $]0,1]$, ha come $\alpha$ "critica" $\alpha = 3/2$, giusto? Dunque non è sommabile, giusto? Il mio prof dice $\alpha = 1/2$.

[Sk_Anonymous]

Credo di aver capito il mio problema: sia $x + 1$ sia $x^2 + 1$ non tendono a $0$. L'unico che tende a zero è $\sqrt{x}$. Dunque il prof aveva (tanto per cambiare) ragione.

[@melia]

"a.dematteis":L'unico che tende a zero è $\sqrt{x}$. Dunque il prof aveva (tanto per cambiare) ragione.

esatto

[indovina]

In effetti usa $x^alpha = x^(1/2)$ cosi da toglierlo al denominatore e avere $l>0$ tuttavia $alpha=1/2<1$ e dunque sommabile. Questa tipologia di esercizi si basa essenzialmente nel trovare l'$alpha$ buono, e risolvere il limite. Una volta fatto questo, bisogna vedere quanto vale l'integrale.