Somma particolare...
Quanto fa $1/(2sqrt(1) + 1sqrt(2)) + 1/(3sqrt(2) + 2sqrt(3)) + ... + 1/(100sqrt(99) + 99sqrt(100))$ ?
Ho provato a rispondere alla domanda ragionando così:
l'ennesimo termine posso scriverlo come : $1/(n*sqrt(n-1) + (n-1)*sqrt(n))$, che se razionalizzo diventa $(n*sqrt(n-1) - (n-1)sqrt(n))/(n(n-1))$.
Allora posso scrivere la frazione come:
$((2-sqrt(2))*(100!)/2 + (3sqrt(2) - 2sqrt(3))*(100!)/6 + (4sqrt(3) - 3sqrt(4))* (100!)/12 + ... + (100sqrt(99) - 99sqrt(100)) * (100!)/(100*99))/(100!)$
(se ho fatto bene i conti).
Però ovviamente calcolarsi così il valore della frazione è praticamente impossibile, sapreste indicarmi un modo più intelligente di procedere?
Grazie in anticipo.
Ho provato a rispondere alla domanda ragionando così:
l'ennesimo termine posso scriverlo come : $1/(n*sqrt(n-1) + (n-1)*sqrt(n))$, che se razionalizzo diventa $(n*sqrt(n-1) - (n-1)sqrt(n))/(n(n-1))$.
Allora posso scrivere la frazione come:
$((2-sqrt(2))*(100!)/2 + (3sqrt(2) - 2sqrt(3))*(100!)/6 + (4sqrt(3) - 3sqrt(4))* (100!)/12 + ... + (100sqrt(99) - 99sqrt(100)) * (100!)/(100*99))/(100!)$
(se ho fatto bene i conti).
Però ovviamente calcolarsi così il valore della frazione è praticamente impossibile, sapreste indicarmi un modo più intelligente di procedere?
Grazie in anticipo.
Risposte
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Ho l'impressione che si semplifica un bel po' e resta solo il primo e l'ultimo termine della somma.
[edit]Scusa, sellacollesella, ho scritto senza aver visto la tua risposta.
[edit]Scusa, sellacollesella, ho scritto senza aver visto la tua risposta.
Ho capito, a un certo punto avrei dovuto "spezzare" la frazione per rendermi conto che tutti i termini intermedi si elidono e rimane solo $1-10/100$. Grazie a entrambi.
Questo genere di oggetti si chiamano "somme telescopiche" (questo rende facile cercare la definizione del loro comportamento): https://it.wikipedia.org/wiki/Serie_telescopica
Grazie mille @megas_archon, lo terrò a mente per il futuro.
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