Somma membro a membro?
Salve a tuttti!! vorrei sapere perchè sommando o sottraendo membro a membro due o più equazioni di un sistema ottengo un sistema equivalente a quello dato? sapreste dirmi perchè?oppure linkarmi un sito su cui posso trovare la dimostrazione? Grazie mille in anticipo!
Risposte
La sezione è sbagliata. Ma penso che per una risposta esauriente dovresti anche dirci a quale livello di scuola appartieni.
[mod="Steven"]Ciao, Il nostro Forum non è la sezione adatta per proporre domande di matematica.
Sposto in "secondaria di II grado".[/mod]
Sposto in "secondaria di II grado".[/mod]
Perché se hai due equazioni, per es.
$\{(4+5=9),(13+5=18):}$
Siccome sono due equazioni, vuol dire che i rispettivi primi membri equivalgono ai due rispettivi secondi membri (e viceversa) e infatti è così se controlli.
Poiché puoi sempre spostare i termini di un membro tutti all'altro membro purché tu li cambi di segno, puoi scrivere:
$\{(4+5-9=0),(13+5-18=0):}$
Adesso sai che i primi membri delle due equazioni valgono entrambi $0$ (l'hai appena scritto), perciò, se sommi membro a membro, ottieni le equazioni:
$\{(4+5-9+(13+5-18)=0),(13+5-18+(4+5-9)=0):}$
Che sono equivalenti.
E da notare anche che sommando membro a mebro, otterresti sempre delle equazioni equivalenti, anche se non fai in modo di avere $0$ nei rispettivi secondi membri (prova).
Strana la matematica eh?
$\{(4+5=9),(13+5=18):}$
Siccome sono due equazioni, vuol dire che i rispettivi primi membri equivalgono ai due rispettivi secondi membri (e viceversa) e infatti è così se controlli.
Poiché puoi sempre spostare i termini di un membro tutti all'altro membro purché tu li cambi di segno, puoi scrivere:
$\{(4+5-9=0),(13+5-18=0):}$
Adesso sai che i primi membri delle due equazioni valgono entrambi $0$ (l'hai appena scritto), perciò, se sommi membro a membro, ottieni le equazioni:
$\{(4+5-9+(13+5-18)=0),(13+5-18+(4+5-9)=0):}$
Che sono equivalenti.
E da notare anche che sommando membro a mebro, otterresti sempre delle equazioni equivalenti, anche se non fai in modo di avere $0$ nei rispettivi secondi membri (prova).
Strana la matematica eh?
Scusatemi, ma non so come spostare la domanda..comunque io frequento l'università ma nel m io corso di analisi non è previsto questo tipo di approfondimento.. è soltanto una mia curiosità ma vorrei una dimostrazione esauriente 
comunquesia grazie a fennell!
comunquesia grazie a fennell!
La tua domanda è già stata spostata da uno dei responsabili del forum.
La dimostrazione di ffennel è ingenua, ma corretta, forse non ha detto che sta applicando la proprietà trasitiva dell'uguaglianza assieme alla definizione di addizione.
La dimostrazione di ffennel è ingenua, ma corretta, forse non ha detto che sta applicando la proprietà trasitiva dell'uguaglianza assieme alla definizione di addizione.
Se usi le lettere:
$\{(A=0),(B=0),(C=0):}$
che è un sistema verificato e con tutte le equazioni che contengono l'incognita $x$, allora, poiché i primi membri delle tre equazioni $A$, $B$ e $C$ valgono tutti $0$, posso scrivere:
$\{(A+B+C=0),(B=0),(C=0):}$
che è chiaramente ancora coerente e verificato per lo stesso valore di $x$ del sistema precedente, quindi i due sistemi sono equivalenti, poiché hanno entrambi come soluzione lo stesso valore di $x$: praticamente il secondo sistema è una riscrittura del primo.
Che il sistema di partenza sia verificato è un presupposto.
$\{(A=0),(B=0),(C=0):}$
che è un sistema verificato e con tutte le equazioni che contengono l'incognita $x$, allora, poiché i primi membri delle tre equazioni $A$, $B$ e $C$ valgono tutti $0$, posso scrivere:
$\{(A+B+C=0),(B=0),(C=0):}$
che è chiaramente ancora coerente e verificato per lo stesso valore di $x$ del sistema precedente, quindi i due sistemi sono equivalenti, poiché hanno entrambi come soluzione lo stesso valore di $x$: praticamente il secondo sistema è una riscrittura del primo.
Che il sistema di partenza sia verificato è un presupposto.
Grazie mille Fennell!!
questo logicamente vale anche nel caso della sottrazione e della moltiplicazione ma avrei un dubbio per quanto riguarda la divisione..
Considerato il primo sistema delle tue tre equazioni, se dovessi dividere membro a membro le prime due, avrei A fratto B che è uguale a 0 fratto 0, il che non ha significato.. come mai?
questo logicamente vale anche nel caso della sottrazione e della moltiplicazione ma avrei un dubbio per quanto riguarda la divisione..
Considerato il primo sistema delle tue tre equazioni, se dovessi dividere membro a membro le prime due, avrei A fratto B che è uguale a 0 fratto 0, il che non ha significato.. come mai?
Queste cose sembrano banali ma in realtà una loro trattazione precisa richiede una certa maturità matematica. Prendiamo il caso di due equazioni in due incognite $x, y$, che scriviamo
(*) ${(f(x, y)=0), (g(x, y)=0):}$.
Una soluzione di questo sistema di equazioni è una coppia $(x_0, y_0)$ che, sostituita nella (*), dia luogo ad una identità: $f(x_0, y_0)=0, g(x_0, y_0)=0$. Quindi, sottolineiamo: le incognite di una o più equazioni sono solo dei simboli, la cui proprietà è che, se ad essi vengono sostituite delle soluzioni, si trasformano in identità.
Ora supponiamo di avere due sistemi di equazioni
(*) ${(f(x, y)=0), (g(x, y)=0):}$, (**) ${(phi(x, y)=0), (gamma(x, y)=0):}$.
In che senso possiamo dire che (*) e (**) sono "uguali"? Una possibilità, senz'altro sensata, è dichiarare che essi sono uguali se $f=phi, g=gamma$. Ma questo è troppo restrittivo: infatti, quello che interessa di un sistema di equazioni non è tanto il sistema in sé, quanto l'insieme delle proprie soluzioni. Diciamo quindi che (*), (**) sono equivalenti se ogni soluzione di uno è soluzione anche dell'altro.
A questo punto abbiamo finalmente il linguaggio giusto per rispondere in modo puntuale alla domanda iniziale: perché si possono sommare membro a membro le equazioni di un sistema, senza alterarne le soluzioni? Ovvero, formalmente, perché i sistemi
(*) ${(f(x, y)=0), (g(x, y)=0):}$, (**)${(f(x, y)+g(x, y)=0), (g(x, y)=0):}$
sono equivalenti?
Questa è una cosa da dimostrare. A questo scopo, sia $(x_0, y_0)$ una soluzione di (*). Quindi $f(x_0, y_0)=g(x_0, y_0)=0$ e in particolare $f(x_0, y_0)+g(x_0, y_0)=0$. Quindi
${(f(x_0, y_0)+g(x_0, y_0)=0), (g(x_0, y_0)=0):}$
ovvero $(x_0, y_0)$ è soluzione anche di (**). Viceversa, sia $(xi, eta)$ una soluzione di (**). Allora $g(xi, eta)=0$, quindi, dovendo essere $f(xi, eta)=-g(xi, eta)$, è anche $f(xi, eta)=0$ e in particolare
(*) ${(f(xi, eta)=0), (g(xi, eta)=0):}$
ovvero $(xi, eta)$ è soluzione anche di (*). Abbiamo così dimostrato che ogni soluzione di (*) è soluzione anche di (**) e viceversa, ovvero che i due sistemi sono equivalenti.
Questo tipo di discorso generalmente si omette, ma è conveniente farlo almeno una volta. Così, nel dubbio, si potrà sempre ricorrere al ragionamento formale per capire quali siano le operazioni applicabili per trasformare dei sistemi di equazioni in sistemi equivalenti. Ad esempio, si può ragionare così per il caso del prodotto membro a membro.
(*) ${(f(x, y)=0), (g(x, y)=0):}$.
Una soluzione di questo sistema di equazioni è una coppia $(x_0, y_0)$ che, sostituita nella (*), dia luogo ad una identità: $f(x_0, y_0)=0, g(x_0, y_0)=0$. Quindi, sottolineiamo: le incognite di una o più equazioni sono solo dei simboli, la cui proprietà è che, se ad essi vengono sostituite delle soluzioni, si trasformano in identità.
Ora supponiamo di avere due sistemi di equazioni
(*) ${(f(x, y)=0), (g(x, y)=0):}$, (**) ${(phi(x, y)=0), (gamma(x, y)=0):}$.
In che senso possiamo dire che (*) e (**) sono "uguali"? Una possibilità, senz'altro sensata, è dichiarare che essi sono uguali se $f=phi, g=gamma$. Ma questo è troppo restrittivo: infatti, quello che interessa di un sistema di equazioni non è tanto il sistema in sé, quanto l'insieme delle proprie soluzioni. Diciamo quindi che (*), (**) sono equivalenti se ogni soluzione di uno è soluzione anche dell'altro.
A questo punto abbiamo finalmente il linguaggio giusto per rispondere in modo puntuale alla domanda iniziale: perché si possono sommare membro a membro le equazioni di un sistema, senza alterarne le soluzioni? Ovvero, formalmente, perché i sistemi
(*) ${(f(x, y)=0), (g(x, y)=0):}$, (**)${(f(x, y)+g(x, y)=0), (g(x, y)=0):}$
sono equivalenti?
Questa è una cosa da dimostrare. A questo scopo, sia $(x_0, y_0)$ una soluzione di (*). Quindi $f(x_0, y_0)=g(x_0, y_0)=0$ e in particolare $f(x_0, y_0)+g(x_0, y_0)=0$. Quindi
${(f(x_0, y_0)+g(x_0, y_0)=0), (g(x_0, y_0)=0):}$
ovvero $(x_0, y_0)$ è soluzione anche di (**). Viceversa, sia $(xi, eta)$ una soluzione di (**). Allora $g(xi, eta)=0$, quindi, dovendo essere $f(xi, eta)=-g(xi, eta)$, è anche $f(xi, eta)=0$ e in particolare
(*) ${(f(xi, eta)=0), (g(xi, eta)=0):}$
ovvero $(xi, eta)$ è soluzione anche di (*). Abbiamo così dimostrato che ogni soluzione di (*) è soluzione anche di (**) e viceversa, ovvero che i due sistemi sono equivalenti.
Questo tipo di discorso generalmente si omette, ma è conveniente farlo almeno una volta. Così, nel dubbio, si potrà sempre ricorrere al ragionamento formale per capire quali siano le operazioni applicabili per trasformare dei sistemi di equazioni in sistemi equivalenti. Ad esempio, si può ragionare così per il caso del prodotto membro a membro.
GRAZIE Dissonance!!!!:)
@ dissonance.
Ciao dissonance, mi interessa leggere il post che hai scritto solo che non riesco a visualizzare correttamente le formule. Quello che vedo è:
Grazie
Ciao dissonance, mi interessa leggere il post che hai scritto solo che non riesco a visualizzare correttamente le formule. Quello che vedo è:
Grazie
E si, perché nel frattempo è cambiato il renderer delle formule e adesso i sistemi non li legge più. Segnalo il thread nella sezione tecnica, vediamo se il nostro Stan riesce a risolvere il problema senza che si debba riscrivere tutto. Nell'attesa, usa il pulsante CITA, così vedrai il codice di quello che ho scritto. Più o meno si capisce cosa intendo.
"dissonance":
E si, perché nel frattempo è cambiato il renderer delle formule e adesso i sistemi non li legge più. Segnalo il thread nella sezione tecnica, vediamo se il nostro Stan riesce a risolvere il problema senza che si debba riscrivere tutto. Nell'attesa, usa il pulsante CITA, così vedrai il codice di quello che ho scritto. Più o meno si capisce cosa intendo.
Ok grazie.
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