Somma infinita alternata
Qualcuno sa dove posso trovare la dimostrazione che la somma infinita di
$1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/n=ln2$?? grazie
$1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/n=ln2$?? grazie
Risposte
Consideri la serie di Taylor
$\log(x+1) = x -\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots$
e poni $x=1$
$\log(x+1) = x -\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots$
e poni $x=1$
eh,sapessi òa serie di taylor.. grazie mille comunque,ora cerco in internet!
scusa.. il primo termine come mai è +x ? non dovrebbe essere meno x?
ok,ho capito..grazie mille
"kekko89":
scusa.. il primo termine come mai è +x ? non dovrebbe essere meno x?
Guarda il grafico della retta $y=x+1$: è crescente.
Se consideri la retta $y=-x+1$ è decrescente.
Il log è crescente, quindi non può essere approssimato con una retta decrescente.
Non so se mi sono spiegato..
ok..ho capito..
un'altra domanda.. Ma perchè area della superficie di rotazione di $y=1/x$ in $[1;infty]$ è infinito? non capisco i passaggi.. Dalla formula generica dell'area di un solido di rotazione passa a $2pi$ per l'integrale di $1/xdx$ tra $[infty;1]$.. grazie
un'altra domanda.. Ma perchè area della superficie di rotazione di $y=1/x$ in $[1;infty]$ è infinito? non capisco i passaggi.. Dalla formula generica dell'area di un solido di rotazione passa a $2pi$ per l'integrale di $1/xdx$ tra $[infty;1]$.. grazie
Considera l'area elementare che è la superficie laterale di un cilindretto che ha crf di base di raggio $ y $ e altezza $=dx $ ; quindi questa area elementare è $ 2pi (1/x)dx $ .
L'area che cerchi sarà data da $int_1^(+oo) 2pidx/x =2pi int_1^oo dx/x $.
Purtroppo $int_1^oo dx/x =[ lnx]_1^oo = +oo $ , cioè diverge .
Se ad esempio , fosse stato $ y = 1/x^2 $ allora l'integrale aveva valore finito ; più in generale bastava che fosse $ y =1/x^(alpha) $ con $ alpha > 1 $ perchè l'integrale convergesse.
L'area che cerchi sarà data da $int_1^(+oo) 2pidx/x =2pi int_1^oo dx/x $.
Purtroppo $int_1^oo dx/x =[ lnx]_1^oo = +oo $ , cioè diverge .
Se ad esempio , fosse stato $ y = 1/x^2 $ allora l'integrale aveva valore finito ; più in generale bastava che fosse $ y =1/x^(alpha) $ con $ alpha > 1 $ perchè l'integrale convergesse.
ma la formula non è l'integrale di $2piysqrt(1+y'^2)dx$?
scusate..altro problema.. Per dimostrare la serie di taylor,posto $x=1$ mi dicono di derivare continuamente $lnx$. Ma come arrivo poi alla somma definitiva? cioè,derivando continuamente il lnx viene fuori una somma alternata infinita..però non capisco come poi si arrivi alla formula risolutiva.
qualcuno mi aiuta...
sono un pò in crisi..grazie!!
sono un pò in crisi..grazie!!
Scusa, kekko89, se non ti ho risposto prima. Ho assistito all'evoluzione di questa discussione ma non ho proprio avuto tempo di intervenire.
Come hai osservato, ruotando intorno all'asse $x$ il grafico della funzione $y = y(x)$ definita sull'intervallo $[a,b]$, eventualmente illimitato, l'area della superficie di rotazione è data dall'integrale
$2\pi\int_a^b y\sqrt{1+y'^2}dx$.
Provo a spiegarti, in modo intuitivo, perché questa formula. Come ha suggerito Camillo, considera l'area elementare costituita dalla superficie laterale di un cilindretto che ha circonferenza di base di raggio $y$. Per l'altezza io non prenderei $dx$ che rappresenta uno spostamento infinitesimo nella direzione dell'asse $x$ ma prenderei lo spostamento infinitesimo $ds$ lungo la curva, ovvero nella direzione della tangente.
Proiettando lo spostamento infinitesimo $ds$ sugli assi, scomponi $ds$ in una componente infinitesima $dx$ lungo l'asse $x$ e in una componente infinitesima $dy$ lungo l'asse $y$.
Per il teorema di Pitagora,
$ds = \sqrt{dx^2+dy^2}$
( \sqrt{dx^2+dy^2} è il modulo di $ds$, se, giustamente, lo pensi come vettore)
Opera con gli infinitesimi secondo le usuali regole di calcolo valide per le quantità finite e ricorda la notazione di Leibniz $y' = \frac{dy}{dx}$
$ds = dx \sqrt{1 + \frac{dy^2}{dx^2}} = sqrt{1+y'^2}dx$
quindi l'area elementare è
$2\pi y sqrt{1+y'^2}dx$
da integrare per $x\in [a,b]$.
Nel tuo caso, devi studiare il comportamento per $x\to \infty$ dell'integrale improprio:
$2\pi\int_1^{+\infty} 1/x \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}dx$.
Poiché $\lim_{x\to \infty} \sqrt{1+\frac{1}{x^2}} = 1$, l'integrale improprio dato ha lo stesso comportamento di:
$2\pi\int_1^{+\infty} 1/x 1 dx$ che diverge.
Come hai osservato, ruotando intorno all'asse $x$ il grafico della funzione $y = y(x)$ definita sull'intervallo $[a,b]$, eventualmente illimitato, l'area della superficie di rotazione è data dall'integrale
$2\pi\int_a^b y\sqrt{1+y'^2}dx$.
Provo a spiegarti, in modo intuitivo, perché questa formula. Come ha suggerito Camillo, considera l'area elementare costituita dalla superficie laterale di un cilindretto che ha circonferenza di base di raggio $y$. Per l'altezza io non prenderei $dx$ che rappresenta uno spostamento infinitesimo nella direzione dell'asse $x$ ma prenderei lo spostamento infinitesimo $ds$ lungo la curva, ovvero nella direzione della tangente.
Proiettando lo spostamento infinitesimo $ds$ sugli assi, scomponi $ds$ in una componente infinitesima $dx$ lungo l'asse $x$ e in una componente infinitesima $dy$ lungo l'asse $y$.
Per il teorema di Pitagora,
$ds = \sqrt{dx^2+dy^2}$
( \sqrt{dx^2+dy^2} è il modulo di $ds$, se, giustamente, lo pensi come vettore)
Opera con gli infinitesimi secondo le usuali regole di calcolo valide per le quantità finite e ricorda la notazione di Leibniz $y' = \frac{dy}{dx}$
$ds = dx \sqrt{1 + \frac{dy^2}{dx^2}} = sqrt{1+y'^2}dx$
quindi l'area elementare è
$2\pi y sqrt{1+y'^2}dx$
da integrare per $x\in [a,b]$.
Nel tuo caso, devi studiare il comportamento per $x\to \infty$ dell'integrale improprio:
$2\pi\int_1^{+\infty} 1/x \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}dx$.
Poiché $\lim_{x\to \infty} \sqrt{1+\frac{1}{x^2}} = 1$, l'integrale improprio dato ha lo stesso comportamento di:
$2\pi\int_1^{+\infty} 1/x 1 dx$ che diverge.
Esatto , il mio errore è stato scrivere $dx $ invece che $ds $ 
Il radicando deve essere però $1+1/x^4 $ anche se questo non cambia le conclusioni.
Il radicando deve essere però $1+1/x^4 $ anche se questo non cambia le conclusioni.
sorry, $-\frac{1}{x^2}$ alla seconda è ovviamente una quarta potenza...
grazie a tutti e due,veramente..ho capito..! alla prossima!
Si ha che il $\log(1+x)$ è uguale ad una somma di infiniti addendi con segni alterni
$\log(1+x) = x - 1/2 x^2 + 1/3 x^3 - 1/4 x^4 + \cdots$
Se hai una serie infinita
$a_1 + a_2 + \cdots + a_n \cdots = \sum_{k=1}^\infty a_k$
puoi calcolare le somme parziali o ridotte:
$S_1 := a_1$
$S_2 := a_1 + a_2$
$\vdots$
$S_n := a_1 + \cdots + a_n$.
Si definisce la somma della serie il limite della successione delle ridotte per $n \to \infty$
$\sum_{n=1}^\infty a_n = \lim_{n\to\infty} S_n$
Quindi il $\log 2$ è il limite della successione delle somme parziali
$\log 2 = \lim_{n\to\infty} (1 - 1/2 + 1/3 + \cdots + (-1)^{n+1} 1/n)$
Cosa intendi per formula risolutiva? Troncando la serie all'ennesimo termine, cioè considerando
$S_n = 1 - 1/2 + 1/3 + \cdots + (-1)^n 1/n$
ottieni una approssimazione del numero irrazionale $\log 2$.
$\log(1+x) = x - 1/2 x^2 + 1/3 x^3 - 1/4 x^4 + \cdots$
Se hai una serie infinita
$a_1 + a_2 + \cdots + a_n \cdots = \sum_{k=1}^\infty a_k$
puoi calcolare le somme parziali o ridotte:
$S_1 := a_1$
$S_2 := a_1 + a_2$
$\vdots$
$S_n := a_1 + \cdots + a_n$.
Si definisce la somma della serie il limite della successione delle ridotte per $n \to \infty$
$\sum_{n=1}^\infty a_n = \lim_{n\to\infty} S_n$
Quindi il $\log 2$ è il limite della successione delle somme parziali
$\log 2 = \lim_{n\to\infty} (1 - 1/2 + 1/3 + \cdots + (-1)^{n+1} 1/n)$
Cosa intendi per formula risolutiva? Troncando la serie all'ennesimo termine, cioè considerando
$S_n = 1 - 1/2 + 1/3 + \cdots + (-1)^n 1/n$
ottieni una approssimazione del numero irrazionale $\log 2$.
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