Somma Fattoriali
Buonasera a tutti,
Riporto qui un esercizio proposto dal nostro professore questa mattina e anche la mia risoluzione diciamo "alla buona":
Sia data una terna di numeri $ x, y , z in NN^+$ tale che valga la relazione :
$ x! + y! + z! = 100x + 10y + z $
Oggi io ho ragionato così: subito con qualche passaggio algebrico di base e un cambio di segno sono arrivato a questo punto:
$x * [ 100- (x-1)! ] + y * [ 10 - (y-1)! ] + z * [ 1 - (z-1)! ] = 0 $
A questo punto ho posto arbitrariamente $ x=1 $, dando quindi valore alla prima parte dell'equazione:
$x * [ 100- (x-1)! ] = 99 $
E sono pervenuto tramite un paio di prove alla terna:
$ x,y,z = {1 , 4, 5 } $
E ora partono le mie perplessità. Prima di tutto, qual'è in questo caso la soluzione degna di questo nome ? E infine, quante terne esistono che soddisfano questa equazione ?
Ringrazio anticipatamente tutti quelli che tenteranno di darmi una mano, spero che ciò che ho scritto sia il più chiaro possibile.
Riporto qui un esercizio proposto dal nostro professore questa mattina e anche la mia risoluzione diciamo "alla buona":
Sia data una terna di numeri $ x, y , z in NN^+$ tale che valga la relazione :
$ x! + y! + z! = 100x + 10y + z $
Oggi io ho ragionato così: subito con qualche passaggio algebrico di base e un cambio di segno sono arrivato a questo punto:
$x * [ 100- (x-1)! ] + y * [ 10 - (y-1)! ] + z * [ 1 - (z-1)! ] = 0 $
A questo punto ho posto arbitrariamente $ x=1 $, dando quindi valore alla prima parte dell'equazione:
$x * [ 100- (x-1)! ] = 99 $
E sono pervenuto tramite un paio di prove alla terna:
$ x,y,z = {1 , 4, 5 } $
E ora partono le mie perplessità. Prima di tutto, qual'è in questo caso la soluzione degna di questo nome ? E infine, quante terne esistono che soddisfano questa equazione ?
Ringrazio anticipatamente tutti quelli che tenteranno di darmi una mano, spero che ciò che ho scritto sia il più chiaro possibile.
Risposte
Non ho la risposta completa, ma scrivo quanto finora trovato (anche per riportare in vista il quesito). Noto che il secondo membro vale al minimo 111 ed è minore di 100(x+y+z). Do poi ad x,y,z, in qualsiasi ordine, i valori a,b,c con $a \ge b \ge c$ e ottengo
$111 le a!+b!+c!<100(a+b+c) \le 300a$
Ho poi
$a!(a-1)!<300 -> a-1 \le 5 ->a \le 6$
quindi tutti i numeri da trovare possono valere al massimo 6 ed essendoci un numero finito di possibilità le si può esaminare tutte.
Ho anche trovato un'altra limitazione:
$111 \le a!+b!+c! \le 3a! ->a! \ge 37 -> a \ge 5$
quindi una delle incognite vale 5 oppure 6.
Qualche altra limitazione riguarda la parità di z, ma non la riporto perché mi sembra che applicarla richieda più tempo che non il fare tentativi a vuoto.
$111 le a!+b!+c!<100(a+b+c) \le 300a$
Ho poi
$a!
quindi tutti i numeri da trovare possono valere al massimo 6 ed essendoci un numero finito di possibilità le si può esaminare tutte.
Ho anche trovato un'altra limitazione:
$111 \le a!+b!+c! \le 3a! ->a! \ge 37 -> a \ge 5$
quindi una delle incognite vale 5 oppure 6.
Qualche altra limitazione riguarda la parità di z, ma non la riporto perché mi sembra che applicarla richieda più tempo che non il fare tentativi a vuoto.
Mi sono messo a fare qualche prova, scrivo quello che sono riuscito a capire.
- Con $ x = 1 $ a prima vista non ci sono altre terne possibili ;
- Con $ x = 2 $ ho fatto questo ragionamento:
Se $x=2$ significa che: $y! + z! = 198 + 10y + z $
Per le limitazioni imposte da gianmaria il valore massimo che la somma può avere è con $y = z = 6 $.
Quindi:
$y! + z! <= 264 $
E' poi evidente che la loro somma debba superare i 200 dettati dal valore di x :
$y! + z! >= 200$
Quindi si ha che:
$ 200 <= y! + z! <= 264 $
Che non ha soluzione per le $y,z in NN$.
Per quanto riguarda gli altri valori di x:
$ x=3 -> 300 <= y! + z! <= 360$ che non ha soluzione per le $y,z in NN$.
$ x=4 -> 400 <= y! + z! <= 442$ che non ha soluzione per le $y,z in NN$.
A questo punto con $x = 5$ e successivi mi pare si cada in contraddizione perchè :
$ x=5 -> 500 <= y! + z! <= 446$, che è assurdo.
Se non ho sbagliato niente e non ho scritto una marea di cavolate, la terna $ ( 1, 4 , 5 ) $ , con le limitazioni di giammaria ( che ringrazio molto ) , è l'unica terna che soddisfa l'equazione.
P.S.: Il ragionamento utilizzato era anche applicabile a $x=1$, che rivela appunto che l'unica terna in grado di soddisfare l'equazione è quella appunto $ (4,5) $.
In quel caso due terne sarebbero saltate fuori, ossia $(4,5) $ e $ (5,4) $ : applicandolo però si capisce come una delle due sia sbagliata.
- Con $ x = 1 $ a prima vista non ci sono altre terne possibili ;
- Con $ x = 2 $ ho fatto questo ragionamento:
Se $x=2$ significa che: $y! + z! = 198 + 10y + z $
Per le limitazioni imposte da gianmaria il valore massimo che la somma può avere è con $y = z = 6 $.
Quindi:
$y! + z! <= 264 $
E' poi evidente che la loro somma debba superare i 200 dettati dal valore di x :
$y! + z! >= 200$
Quindi si ha che:
$ 200 <= y! + z! <= 264 $
Che non ha soluzione per le $y,z in NN$.
Per quanto riguarda gli altri valori di x:
$ x=3 -> 300 <= y! + z! <= 360$ che non ha soluzione per le $y,z in NN$.
$ x=4 -> 400 <= y! + z! <= 442$ che non ha soluzione per le $y,z in NN$.
A questo punto con $x = 5$ e successivi mi pare si cada in contraddizione perchè :
$ x=5 -> 500 <= y! + z! <= 446$, che è assurdo.
Se non ho sbagliato niente e non ho scritto una marea di cavolate, la terna $ ( 1, 4 , 5 ) $ , con le limitazioni di giammaria ( che ringrazio molto ) , è l'unica terna che soddisfa l'equazione.
P.S.: Il ragionamento utilizzato era anche applicabile a $x=1$, che rivela appunto che l'unica terna in grado di soddisfare l'equazione è quella appunto $ (4,5) $.
In quel caso due terne sarebbero saltate fuori, ossia $(4,5) $ e $ (5,4) $ : applicandolo però si capisce come una delle due sia sbagliata.
@auron
Perdona la mia curiosità, ma da dove viene la tua frase in firma?
Perdona la mia curiosità, ma da dove viene la tua frase in firma?
@Wizard: Non è una frase famosa, almeno credo. E' la risposta che mi diede il mio professore delle medie quando gli chiesi qualche notizia a proposito del Teorema di Fermat. Mi è rimasta impressa, allora mi diede quasi i brividi.
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