Somma e potenze

[giannirecanati]

Dimostrare che:
\(\displaystyle \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} i \cdot \displaystyle\frac{1}{2^i}=2-\displaystyle\frac{n+1}{2^{n-1}} \)

L'esercizio iniziale chiedeva di farla con l'induzione, però preferisco fare i passaggi algebrici.
La mia speranza era ricondurmi ad una serie geometrica ma dopo diversi operazioni non ci sono riuscito, perchè mi rimane sempre quel prodotto di due variabili tra i piedi. Qualche suggerimento?

[theras]

Ciao!
Prova a derivare,rispetto alla variabile indipendente x,
entrambi i membri dell'uguaglianza $sum_(i=0)^(n-1)x^i=(1-x^n)/(1-x)$ $AAx inRR-{1}$
(che dovrebbe esserti nota,
perchè immediatamente deducibile dalla decomposizione di $1-x^n=1^n-x^n$ con la regola di Ruffini..);
a quel punto dovrebbe bastarti moltiplicare per $x$ ambo i membri dell'uguaglianza così ottenuta,
per poi porre $x=1/2$ e svolgere qualche semplificazione algebrica non difficilissima:
saluti dal web.

[giannirecanati]

Grazie mille Theras!

[theras]

Figurati,è un piacere:
saluti dal web.

[totissimus]

Puoi fare anche cosi:

\( \displaystyle S_n=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{i}{2^i}=\sum_{i=1}^n \frac{i-1}{2^{i-1}}=\sum_{i=1}^n\frac{i}{2^{i-1}}-\sum_{i=1}^n \frac{1}{2^{i-1}}=2\sum_{i=0}^n \frac{i}{2^i}-\sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{2^i}=2\left( S_n+\frac{n}{2^n}\right)-\frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}}\)

\( \displaystyle S_n=2 S_n+\frac{n}{2^{n-1}}-2+\frac{1}{2^{n-1}}\) da cui ricavi \( S_n\)