Somma diretta

[danyrus07]

Salve a tutti

Ho un problema con un quesito di algebra che non riesco a risolvere..

Mi è assegnato un sottospazio U in R^3 : 3x-z=x-4y+z=0;
Devo determinare un sottospazio W tale che R^3=U(somma diretta)W con W non ortogonale ad U..

Ora 'non' seguendo le condizioni di ortogonalità(cioè u*w=0),non ottengo con nessun sottospazio generico w una delle condizioni della somma diretta,cioè che contenga l'insieme vuoto...

Dove sbaglio?
Grazie..

[ciampax]

Secondo me ti stai incasinando più del dovuto. Per prima cosa, troviamo una base di U: dovendo risolvere il sistema delle equazioni

[math]3x-z=0,\qquad x-4y+z=0[/math]

si trova facilmente che

[math]z=3x,\qquad y=x[/math]

per cui U è costituito dai vettori della forma

[math](x,x,3x)[/math]

ed una sua base è

[math]B=\{(1,1,3)\}[/math]

, per cui

[math]\dim U=1[/math]

. Quello che devi trovare è allora uno spazio W di dimensione 2 tale

[math]U\cap W=\{0\}[/math]

. Un tale spazio è, ad esempio, quello che ha la base seguente:

[math](0,1,1),(0,1,0)[/math]

Infatti si vede subito che i tre vettori scritti (questi due e quello della base di U) sono linearmente indipendenti (provare per credere) e quindi risulta che i due sottospazi hanno intersezione nulla.

P.S.: se procedi con il prodotto scalare standard, devi invece trovare tutti i vettori

[math](a,b,c)[/math]

tali che

[math]a+b+3c=0[/math]

e quindi i vettori

[math](-b-3c,b,c)[/math]

. Ovviamente verranno fuori vettori diversi a seconda dei valori scelti di b,c.