Somma di una progressione geometrica
Buongiorno a tutti.
Stavo studiando la progressione geometrica che si ha quando ogni termine di una serie ha un rapporto costate (detta ragione, indicato col simbolo $q$) con il termine precedente. Ad esempio: $3$ - $7,5$ - $18,75$ - $46,875$ - $...$ è una progressione geometrica con ragione $q = 2,5$.
Ma, in particolare, mi sono concentrato sulla formula della somma di una progressione geometrica: $(1 - q^(n+1))/(1 - q)$, in cui $n$ rappresenta il numero di termini della serie da sommare (perciò $n$ è appartenente ai numeri naturali).
Perché esiste questa formula? Cioè, i matematici, come ci sono risaliti? Mi potreste aiutare a dimostrare questa formula?
Ringrazio in anticipo per le risposte.
Stavo studiando la progressione geometrica che si ha quando ogni termine di una serie ha un rapporto costate (detta ragione, indicato col simbolo $q$) con il termine precedente. Ad esempio: $3$ - $7,5$ - $18,75$ - $46,875$ - $...$ è una progressione geometrica con ragione $q = 2,5$.
Ma, in particolare, mi sono concentrato sulla formula della somma di una progressione geometrica: $(1 - q^(n+1))/(1 - q)$, in cui $n$ rappresenta il numero di termini della serie da sommare (perciò $n$ è appartenente ai numeri naturali).
Perché esiste questa formula? Cioè, i matematici, come ci sono risaliti? Mi potreste aiutare a dimostrare questa formula?
Ringrazio in anticipo per le risposte.
Risposte
Puoi vederla in due modi.
Ad esempio considera la formula
$(1+x)(1-x)=1-x^2$ o anche
$(1+x+x^2)*(1-x)=1-x^3$
Con poca difficoltà, puoi generalizzare questo risultato dicendo che
$(1+x+x^2+...+x^n)*(1-x)=1-x^(n-1)$ ovvero dividendo per $1-x$
$(1+x+x^2+...+x^n)=(1-x^(n-1))/(1-x)$
Se vuoi procedere in maniera rigorosa, e vuoi sommare i primi $n$ termini di una progressione aritmetica, devi ovviamente dire che
$S_n=a_0+a_1+a_2+...+a_n$ ovvero,
$S_n=a_0+qa_0+q^2a_0+...+q^na_0$ visto che risulta $a_k=a_0*q^k$
Ora moltiplica ambo i membri per $q$ e "incolonna" le due relazioni:
$q*S_n=qa_0+q^2a_0+q^3a_0+...+q^(n+1)a_0$
$S_n=a_0+qa_0+q^2a_0+...+q^na_0$
Sottraendo membro a membro vedi che i secondi membri si semplificano molto, rimangono solo due termini
$qS_n-S_n=q^(n+1)a_0-a_0$
ovvero
$S_n(q-1)=a_0*(q^(n+1)-1)$
dividendo per $q-1$ hai finito.
Il passaggio fondamentale è appunto moltiplicare per $q$ e poi sottrarre.
Questa è la dimostrazione classica.
Ciao!
Ad esempio considera la formula
$(1+x)(1-x)=1-x^2$ o anche
$(1+x+x^2)*(1-x)=1-x^3$
Con poca difficoltà, puoi generalizzare questo risultato dicendo che
$(1+x+x^2+...+x^n)*(1-x)=1-x^(n-1)$ ovvero dividendo per $1-x$
$(1+x+x^2+...+x^n)=(1-x^(n-1))/(1-x)$
Se vuoi procedere in maniera rigorosa, e vuoi sommare i primi $n$ termini di una progressione aritmetica, devi ovviamente dire che
$S_n=a_0+a_1+a_2+...+a_n$ ovvero,
$S_n=a_0+qa_0+q^2a_0+...+q^na_0$ visto che risulta $a_k=a_0*q^k$
Ora moltiplica ambo i membri per $q$ e "incolonna" le due relazioni:
$q*S_n=qa_0+q^2a_0+q^3a_0+...+q^(n+1)a_0$
$S_n=a_0+qa_0+q^2a_0+...+q^na_0$
Sottraendo membro a membro vedi che i secondi membri si semplificano molto, rimangono solo due termini
$qS_n-S_n=q^(n+1)a_0-a_0$
ovvero
$S_n(q-1)=a_0*(q^(n+1)-1)$
dividendo per $q-1$ hai finito.
Il passaggio fondamentale è appunto moltiplicare per $q$ e poi sottrarre.
Questa è la dimostrazione classica.
Ciao!
Davvero un'ottima dimostrazione. Grazie infinite.
Di nulla, prego.
Ciao.
Ciao.
Non so se può interessare, comunque lo dico visto che avete aperto il discorso:
la dimostrazione "classica" di questo risultato (la seconda di quelle postate da Steven) mi ha sempre fatto sentire un deficiente!
Infatti, messa in questi termini, mi porta a dire: "come cacchio gli è venuto in mente di moltiplicare per $q$, mettere le due relazioni in colonna... si vede che sono troppo stupido per capirlo".
Per aggirare questo ostacolo allora tendo a fare un ragionamento inverso, che forse è più facile da ricordare:
prendiamo una ragione $q!=1$. (Se $q=1$ non stiamo facendo niente di che, $1+1+...1=n$). Come ha fatto Steven, chiamiamo $S_n=1+q+q^2+...+q^n$. Quindi quello che vogliamo dimostrare è che $S_n=(1-q^(n+1))/(1-q)$. Ma $q!=1$, quindi possiamo equivalentemente dimostrare che $(1-q)S_n=(1-q^(n+1))$, ovvero
$S_n-qS_n=1-q^(n+1)$.
Quell'$n+1$ fa capire che dobbiamo tirare in ballo $S_(n+1)$: e difatti lo scarto $S_{n+1}-S_{n}$ è proprio $q^(n+1)$. Perciò la relazione da dimostrare diventa:
$S_n-qS_n=1-S_{n+1}+S_{n}$, semplifichiamo $S_n$ e otteniamo
$qS_n=S_{n+1}-1$.
Ecco da dove veniva l'idea di moltiplicare per $q$! Svolgiamo il calcolo: $qS_n=q+q^2+...+q^(n+1)=S_{n+1}-1$.
E con questo la proposizione è dimostrata.
Intendiamoci, non ho fatto niente. Le operazioni che ho scritto qua sono precisamente le stesse scritte da Steven. Forse però messe così possono spaventare di meno (come spaventano di meno me).
la dimostrazione "classica" di questo risultato (la seconda di quelle postate da Steven) mi ha sempre fatto sentire un deficiente!
Infatti, messa in questi termini, mi porta a dire: "come cacchio gli è venuto in mente di moltiplicare per $q$, mettere le due relazioni in colonna... si vede che sono troppo stupido per capirlo".
Per aggirare questo ostacolo allora tendo a fare un ragionamento inverso, che forse è più facile da ricordare:
prendiamo una ragione $q!=1$. (Se $q=1$ non stiamo facendo niente di che, $1+1+...1=n$). Come ha fatto Steven, chiamiamo $S_n=1+q+q^2+...+q^n$. Quindi quello che vogliamo dimostrare è che $S_n=(1-q^(n+1))/(1-q)$. Ma $q!=1$, quindi possiamo equivalentemente dimostrare che $(1-q)S_n=(1-q^(n+1))$, ovvero
$S_n-qS_n=1-q^(n+1)$.
Quell'$n+1$ fa capire che dobbiamo tirare in ballo $S_(n+1)$: e difatti lo scarto $S_{n+1}-S_{n}$ è proprio $q^(n+1)$. Perciò la relazione da dimostrare diventa:
$S_n-qS_n=1-S_{n+1}+S_{n}$, semplifichiamo $S_n$ e otteniamo
$qS_n=S_{n+1}-1$.
Ecco da dove veniva l'idea di moltiplicare per $q$! Svolgiamo il calcolo: $qS_n=q+q^2+...+q^(n+1)=S_{n+1}-1$.
E con questo la proposizione è dimostrata.
Intendiamoci, non ho fatto niente. Le operazioni che ho scritto qua sono precisamente le stesse scritte da Steven. Forse però messe così possono spaventare di meno (come spaventano di meno me).
Grazie per aver scritto la dimostrazione con un punto di vista differente. 
In effetti anch'io ho sempre pensato che uno dei più importanti problemi che portano uno studente ad allontanarsi dalla matematica e/o fisica sia leggere teoremi e formule di cui non è spiegata assolutamente l'origine. Proprio per questo ho deciso di chiedere su questo forum. Nel mio libro, infatti, c'è la formula della somma di una progressione geometrica, ma l'autore non spiega assolutamente come c'è arrivato. Un po' come dire: tenete studenti, imparate a memoria questa formulaccia e statevi zitti, tanto adesso sono cavoli vostri (sottinteso: ormai avete comprato il mio libro)!
Vedere una dimostrazione di una formula da più punti di vista serve moltissimo per chiarire ulteriormente le idee.
Quindi, grazie ad entrambi, Steven e Dissonance.
In effetti anch'io ho sempre pensato che uno dei più importanti problemi che portano uno studente ad allontanarsi dalla matematica e/o fisica sia leggere teoremi e formule di cui non è spiegata assolutamente l'origine. Proprio per questo ho deciso di chiedere su questo forum. Nel mio libro, infatti, c'è la formula della somma di una progressione geometrica, ma l'autore non spiega assolutamente come c'è arrivato. Un po' come dire: tenete studenti, imparate a memoria questa formulaccia e statevi zitti, tanto adesso sono cavoli vostri (sottinteso: ormai avete comprato il mio libro)!
Vedere una dimostrazione di una formula da più punti di vista serve moltissimo per chiarire ulteriormente le idee.
Quindi, grazie ad entrambi, Steven e Dissonance.
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