Somma da $1 $ a $ n $
Buona domenica e buon 8 marzo a tutti.
Perché se devo fare la somma di tutti i numeri da $1$ a $ n $,
mettendo in una riga tutti i numeri da $1$ a $ n $
e nella riga sottostante i numeri da $n$ a $1$, ogni colonna da come somma $ n+1$ ?
Esempio, se devo fare la somma di tutti i numeri da $1$ a $ 6 $,
mettendo in una riga tutti i numeri da $1$ a $ 6 $
e nella riga sottostante i numeri da $6$ a $1$,
ogni colonna da come somma $ 6+1$ ?
$1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$
$6$, $5$, $4$, $3$, $2$, $1$
-----------------------------------------
$7$, $7$, $7$, $7$, $7$, $7$
Perché se devo fare la somma di tutti i numeri da $1$ a $ n $,
mettendo in una riga tutti i numeri da $1$ a $ n $
e nella riga sottostante i numeri da $n$ a $1$, ogni colonna da come somma $ n+1$ ?
Esempio, se devo fare la somma di tutti i numeri da $1$ a $ 6 $,
mettendo in una riga tutti i numeri da $1$ a $ 6 $
e nella riga sottostante i numeri da $6$ a $1$,
ogni colonna da come somma $ 6+1$ ?
$1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$
$6$, $5$, $4$, $3$, $2$, $1$
-----------------------------------------
$7$, $7$, $7$, $7$, $7$, $7$
Risposte
Nella prima riga aumenti sempre di uno mentre nella seconda diminuisci di uno. Di conseguenza la somma in colonna è costante.
ciao dario95!
Se posso, oltre a condividere la spiegazione fornita da Igiul che saluto, vorrei fornirti una nota storica per un problema simile a quello che stai affrontando tu.
Uno dei più grandi matematici di tutti i tempi, C.F. Gauss, visse in germania nei primissimi anni dell'800. Si dice, e pare sia vero, che quando aveva 10 anni il durissimo e cerbero maestro delle elementari temuto da tutti (immagino allora volassero vergate per chi sbagliava) diede un compito per tenere impegnata la classe per tutta l'ora in modo che lui potesse distrarsi.
Chiese alla classe di fare la somma dei numeri da 1 a 100 e, una volta finito, di dargli il risultato.
Cominciò a farsi gli affari suoi ma passò circa 1 minuto (!!!) e il piccolo Gauss si alzò e diede la risposta : 5050
Il maestro e la classe increduli chiesero di giustificare il risultato ottenuto in così poco tempo.
Gauss a 10 anni aveva notato da solo che poteva scrivere i numeri così
$1$,$2$,$3$,$4$,...
$100$,$99$,$98$,$97$,...
proprio come ti ha fatto fare il tuo insegnante.. e la somma in colonna era sempre 101!!!
quindi bastava fare 50 volte 101 e si aveva il risultato!!!
A 10 anni tutto questo in 1 minuto... capirai che è diventato immediatamente il pupillo del suo cattivissimo insegnante e che da grande è diventato uno dei miti matematici più grandi di sempre
Quanto abbiamo scritto sopra sia io che te si può riassumere nella seguente espressione
$S=n/2 (n+1)$
che significa: se vuoi fare la somma di $n$ numeri allora dividi $n$ per 2 e moltiplica il risultato per $n+1$
Si chiama "somma dei primi $n$ termini di una serie aritmetica" ma è inutile darle un nome, basta capire che cosa si sta facendo
ciao!!!
Se posso, oltre a condividere la spiegazione fornita da Igiul che saluto, vorrei fornirti una nota storica per un problema simile a quello che stai affrontando tu.
Uno dei più grandi matematici di tutti i tempi, C.F. Gauss, visse in germania nei primissimi anni dell'800. Si dice, e pare sia vero, che quando aveva 10 anni il durissimo e cerbero maestro delle elementari temuto da tutti (immagino allora volassero vergate per chi sbagliava) diede un compito per tenere impegnata la classe per tutta l'ora in modo che lui potesse distrarsi.
Chiese alla classe di fare la somma dei numeri da 1 a 100 e, una volta finito, di dargli il risultato.
Cominciò a farsi gli affari suoi ma passò circa 1 minuto (!!!) e il piccolo Gauss si alzò e diede la risposta : 5050
Il maestro e la classe increduli chiesero di giustificare il risultato ottenuto in così poco tempo.
Gauss a 10 anni aveva notato da solo che poteva scrivere i numeri così
$1$,$2$,$3$,$4$,...
$100$,$99$,$98$,$97$,...
proprio come ti ha fatto fare il tuo insegnante.. e la somma in colonna era sempre 101!!!
quindi bastava fare 50 volte 101 e si aveva il risultato!!!
A 10 anni tutto questo in 1 minuto... capirai che è diventato immediatamente il pupillo del suo cattivissimo insegnante e che da grande è diventato uno dei miti matematici più grandi di sempre
Quanto abbiamo scritto sopra sia io che te si può riassumere nella seguente espressione
$S=n/2 (n+1)$
che significa: se vuoi fare la somma di $n$ numeri allora dividi $n$ per 2 e moltiplica il risultato per $n+1$
Si chiama "somma dei primi $n$ termini di una serie aritmetica" ma è inutile darle un nome, basta capire che cosa si sta facendo
ciao!!!
Grazie ad entrambi! Siete stati gentilissimi.
Mi intrometto nella discussione per consigliarti una dimostrazione rigorosa della formula utilissima:
\[ S(n)=\frac{n(n+1)}{2} \]
dove $ S(n) $ è la somma dei primi $ n $ interi positivi. La dimostrazione, con un'analisi passo passo della faccenda, si trova qui: http://webmath2.unito.it/paginepersonali/arzarello/matematica2003/numero/iibiennio.pdf
Se poi volessi scoprire molte altre proprietà dei numeri interi, dai un'occhiata al principio di induzione:
http://www.****.it/lezioni/analisi-matematica/successioni/701-dimostrazioni-con-il-principio-di-induzione.html
Ciao!
\[ S(n)=\frac{n(n+1)}{2} \]
dove $ S(n) $ è la somma dei primi $ n $ interi positivi. La dimostrazione, con un'analisi passo passo della faccenda, si trova qui: http://webmath2.unito.it/paginepersonali/arzarello/matematica2003/numero/iibiennio.pdf
Se poi volessi scoprire molte altre proprietà dei numeri interi, dai un'occhiata al principio di induzione:
http://www.****.it/lezioni/analisi-matematica/successioni/701-dimostrazioni-con-il-principio-di-induzione.html
Ciao!
Scusami, ho visto solo ora il tuo intervento. Grazie.
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