Somma algebrica di frazioni
Se io conosco la somma algebrica di due frazioni, stabiliamo che sia ad esempio $(2a+3)/(a-2)$, e mi viene chiesto di trovare i valori delle due frazioni che sommate danno questo risultato, come risalgo alle frazioni originarie? Certo, ci sono cinque alternative già scritte, potrei fare la somma di tutte ma sarebbe lungo..
Risposte
Mi sa che ci sono molte possibilità, ad esempio
\[ \frac{2(2a+3)}{a-2} + \frac{-(2a+3)}{a-2} \]
è una possibilità. Posta le alternative proposte e magari c'è un modo per ragionare ed escludere delle opzioni senza farsi il calcolo
\[ \frac{2(2a+3)}{a-2} + \frac{-(2a+3)}{a-2} \]
è una possibilità. Posta le alternative proposte e magari c'è un modo per ragionare ed escludere delle opzioni senza farsi il calcolo
Et voilà..
A) $(a+3)/(a-2)$ e $a/(2-a)$
B) $a/(a-2)$ e $(3-a)/(a-2)$
C) $(a^2 + a - 6)/(2-a)^2$ e $a/(2-a)$
D) $a/(a-2)$ e $(-3-a)/(2-a)$
E) $(a^2+a-6)/(2-a)^2$ e $(a+3)/(a-2)$
A) $(a+3)/(a-2)$ e $a/(2-a)$
B) $a/(a-2)$ e $(3-a)/(a-2)$
C) $(a^2 + a - 6)/(2-a)^2$ e $a/(2-a)$
D) $a/(a-2)$ e $(-3-a)/(2-a)$
E) $(a^2+a-6)/(2-a)^2$ e $(a+3)/(a-2)$
Okay, ti risponderò in modo probabilmente confuso e del tutto non chiaro. Spero di sbagliarmi. Non vedo un'alternativa al farti i conti. Ma anche qui ci sono dei "trucchetti". Invece di controllare linearmente tutte le opzioni puoi provare a "pescare" in modo ragionato quelle opzioni che "a sentimento" ti sembrano più probabili essere la soluzione corretta.
È una cosa che riesce bene con più esperienza. Il trucco è un po' quello che usano i musicisti per improvvisare. I musicisti quando improvvisano è come se si creassero 3 linee di pensiero distinte e poi le uniscono. La prima è la linea ritmica. La seconda è la linea armonica del brano (quindi quali scale o accordi sono "leciti") e la terza è la loro creatività. Mischiano tutte queste cose in modo da tirare fuori grazie alla loro creatività una successione di note che suona bene con le armonie del brano e che si incastra bene ritmicamente. Qui puoi fare una cosa analoga.
Prima di metterti a fare conti:
1) Tieni bene a mente l'espressione che possiedi, il \( (2a+3)/(a-2) \), e visualizzala bene.
2) Osserva superficialmente le opzioni proposte e cerca di pescare quelle che ritieni più probabili.
3) Controlla prima quelle.
Ad esempio osservando le 5 opzioni proposte, sicuramente la C e la E mi richiedono più tempo per essere controllate, le escludo inizialmente (magari sono quelle ma hey sto pescando, spero di pescare quella corretta). Perché sono pigro sostanzialmente, non per altro.
Inoltre risalta subito all'occhio che a meno di un cambiamento di segno le espressioni A,B e D hanno lo stesso denominatore, quindi non ti è richiesto di fare un denominatore comune.
Quindi assolutamente inizio a verificare la A,B e D. Per due semplici motivi: sono pigro e anche se dovessi aver pescato le opzioni scorrette non perdo troppo tempo nel verificare che sono scorrette.
Tra la A,B e D scelgo di controllare prima la B perché hanno il medesimo denominatore (non devo cambiare segno rischiando di sbagliarmi). Quindi basta che sommo i due numeratori (me ne infischio del denominatore).
Tieni ben a mente il numeratore -> L'obbiettivo è trovare \(2a+3 \).
Guardando la B vedo subito che non va bene, perché non devo cambiare di segno nessuno dei due numeratori e quindi siccome le due \(a\) hanno segno opposto si annullano quindi non posso trovare nulla che contenga la \(a\) a numeratore. In alternativa ti fai semplicemente \(a + 3- a = 3 \).
Tra le altre due io mi butterei a controllare la D prima della A. Perché in entrambi i casi devo cambiare di segno il denominatore \(2-a \) in \(a-2 \) quindi devo moltiplicare per \(-1\) sia il numeratore che il denominatore. Nella A cambio segno alla \(a\) a numeratore ottenendo come in B che le \(a\) si annullano. Mentre nella D invece cambio di segno la \(-a\) in modo che ottengo effettivamente \(2a\) sommando. Poi ti rendi conto che cambi di segno anche il \(-3\) ed effettivamente controlli che sommando le due frazioni in D ottieni \( \frac{2a+3}{a-2} \).
Sostanzialmente quello che io ho fatto è questo:
Guardo le espressioni e controllo prima quelle che ritengo che per me stesso siano più "facili" da controllare. Per te potrebbe essere più facile controllare prima altre espressioni non necessariamente nel ordine che ho preso io. Io ho scelto di controllare quelle in cui sono più rapido nel sommare. In questo modo se mi sbaglio non ho perso troppo tempo, se invece per puro fattore C capito su quella corretta sono andato veloce
Poi con l'esperienza vedi subito ad occhio che è la D senza controllare le altre.
È una cosa che riesce bene con più esperienza. Il trucco è un po' quello che usano i musicisti per improvvisare. I musicisti quando improvvisano è come se si creassero 3 linee di pensiero distinte e poi le uniscono. La prima è la linea ritmica. La seconda è la linea armonica del brano (quindi quali scale o accordi sono "leciti") e la terza è la loro creatività. Mischiano tutte queste cose in modo da tirare fuori grazie alla loro creatività una successione di note che suona bene con le armonie del brano e che si incastra bene ritmicamente. Qui puoi fare una cosa analoga.
Prima di metterti a fare conti:
1) Tieni bene a mente l'espressione che possiedi, il \( (2a+3)/(a-2) \), e visualizzala bene.
2) Osserva superficialmente le opzioni proposte e cerca di pescare quelle che ritieni più probabili.
3) Controlla prima quelle.
Ad esempio osservando le 5 opzioni proposte, sicuramente la C e la E mi richiedono più tempo per essere controllate, le escludo inizialmente (magari sono quelle ma hey sto pescando, spero di pescare quella corretta). Perché sono pigro sostanzialmente, non per altro.
Inoltre risalta subito all'occhio che a meno di un cambiamento di segno le espressioni A,B e D hanno lo stesso denominatore, quindi non ti è richiesto di fare un denominatore comune.
Quindi assolutamente inizio a verificare la A,B e D. Per due semplici motivi: sono pigro e anche se dovessi aver pescato le opzioni scorrette non perdo troppo tempo nel verificare che sono scorrette.
Tra la A,B e D scelgo di controllare prima la B perché hanno il medesimo denominatore (non devo cambiare segno rischiando di sbagliarmi). Quindi basta che sommo i due numeratori (me ne infischio del denominatore).
Tieni ben a mente il numeratore -> L'obbiettivo è trovare \(2a+3 \).
Guardando la B vedo subito che non va bene, perché non devo cambiare di segno nessuno dei due numeratori e quindi siccome le due \(a\) hanno segno opposto si annullano quindi non posso trovare nulla che contenga la \(a\) a numeratore. In alternativa ti fai semplicemente \(a + 3- a = 3 \).
Tra le altre due io mi butterei a controllare la D prima della A. Perché in entrambi i casi devo cambiare di segno il denominatore \(2-a \) in \(a-2 \) quindi devo moltiplicare per \(-1\) sia il numeratore che il denominatore. Nella A cambio segno alla \(a\) a numeratore ottenendo come in B che le \(a\) si annullano. Mentre nella D invece cambio di segno la \(-a\) in modo che ottengo effettivamente \(2a\) sommando. Poi ti rendi conto che cambi di segno anche il \(-3\) ed effettivamente controlli che sommando le due frazioni in D ottieni \( \frac{2a+3}{a-2} \).
Sostanzialmente quello che io ho fatto è questo:
Guardo le espressioni e controllo prima quelle che ritengo che per me stesso siano più "facili" da controllare. Per te potrebbe essere più facile controllare prima altre espressioni non necessariamente nel ordine che ho preso io. Io ho scelto di controllare quelle in cui sono più rapido nel sommare. In questo modo se mi sbaglio non ho perso troppo tempo, se invece per puro fattore C capito su quella corretta sono andato veloce
Poi con l'esperienza vedi subito ad occhio che è la D senza controllare le altre.
Mi sento quasi in difetto a replicare miseramente con "grazie infinite". Una risposta così limpida e prolissa l'ho vista davvero di rado
@mirea00 [ot]guarda che "prolissa" non è un complimento... 
[/ot]
[/ot]
Prolissa nell'accezione arcaica del termine. E' come per golosità e golosia.. Per me golosia è adorabile, non fa niente se è passata di moda :p
Non conosco l'accezione arcaica del termine, e comunque effettivamente la mia risposta è prolissa anche nell'accezione moderna del termine 
Figurati comunque, mi fa piacere che sei riuscita a capire la mia risposta, temevo di confonderti le idee.
Figurati comunque, mi fa piacere che sei riuscita a capire la mia risposta, temevo di confonderti le idee.
In generale, il problema è indeterminato, indipendentemente dal fatto che si chieda di trovare numeri, polinomi o frazioni algebriche, a meno di avere altre informazioni.
Ad esempio, è impossibile determinare due numeri che sommati diano $1$, poiché l'equazione $x + y =1$ ammette infinite soluzioni.
Analogamente, nel tuo caso, l'equazione $p + q = (2a+3)/(a-2)$ è indeterminata poiché ammette infinite soluzioni (che sembrano ancora "più infinite" del problema coi numeri, ma...). Infatti, se $p$ è una qualsiasi frazione algebrica (possibilmente contenente altre variabili oltre $a$) e $q = (2a+3)/(a-2) - p$, allora la somma di $p$ e $q$ è proprio $(2a+3)/(a-2)$.
In questo caso, ti salvava avere delle alternative, altrimenti...
Ad esempio, è impossibile determinare due numeri che sommati diano $1$, poiché l'equazione $x + y =1$ ammette infinite soluzioni.
Analogamente, nel tuo caso, l'equazione $p + q = (2a+3)/(a-2)$ è indeterminata poiché ammette infinite soluzioni (che sembrano ancora "più infinite" del problema coi numeri, ma...). Infatti, se $p$ è una qualsiasi frazione algebrica (possibilmente contenente altre variabili oltre $a$) e $q = (2a+3)/(a-2) - p$, allora la somma di $p$ e $q$ è proprio $(2a+3)/(a-2)$.
In questo caso, ti salvava avere delle alternative, altrimenti...
È un problema a risposta multipla quindi basta scegliere l'unica (si spera ) corretta.
) corretta.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo