Soluzioni di un sistema
Sia:
$\{(3x^2-ky=0),(2y-kx=0):}$
con k parametro reale...
come faccio a dire che il sistema ha soluzioni e quante?
$\{(3x^2-ky=0),(2y-kx=0):}$
con k parametro reale...
come faccio a dire che il sistema ha soluzioni e quante?
Risposte
Risolvila come un sistema "normale", non farti spaventare da quel k.
Dalla seconda ti ricavi a cosa è uguale y ossia: $y=kx/2
Poi vai a sostituire $kx/2
al posto di y nella prima ed ottieni a cosa è uguale x. A me viene: $x1=0, x2=k^2/6
(magari ho fatto qualche errorino)
Alla fine vedi che sia x che y dipendono da k, quindi le soluzioni mi sembrano infinite ma, ovviamente, vincolate.
Dalla seconda ti ricavi a cosa è uguale y ossia: $y=kx/2
Poi vai a sostituire $kx/2
al posto di y nella prima ed ottieni a cosa è uguale x. A me viene: $x1=0, x2=k^2/6
(magari ho fatto qualche errorino)
Alla fine vedi che sia x che y dipendono da k, quindi le soluzioni mi sembrano infinite ma, ovviamente, vincolate.
Scrittore, non hai risposto alla domanda di knuckles, che vuole sapere se/quando/quante soluzioni ammette il sistema.
L'esistenza e il numero delle soluzioni del sistema dipende dal delta dell'equazione risolvente.
Quindi:
1. esplicita la seconda equazione rispetto alla y
2. sostituisci nella prima equazione, che diventerà tutta in x, con k parametro reale.
Bene, hai ottenuto un'equazione di secondo grado, che ammette soluzioni reali quando.......
In particolare le soluzioni saranno reali e distinte quando .....
e reali e coincidenti quando .....
Buon lavoro,
S.
Aggiunta: se hai gli strumenti per vedere il sistema da un altro punto di vista (geometria analitica), puoi esplicitare entrambe le equazioni rispetto alla y: la prima rappresenta un fascio di parabole con vertice in O, la seconda un fascio stellato (proprio) di rette per O. Con qualche grafichino o un software di geometria dinamica (geogebra, ad esempio www.geogebra.org fare clic su webstart) puoi visualizzare le intersezioni
L'esistenza e il numero delle soluzioni del sistema dipende dal delta dell'equazione risolvente.
Quindi:
1. esplicita la seconda equazione rispetto alla y
2. sostituisci nella prima equazione, che diventerà tutta in x, con k parametro reale.
Bene, hai ottenuto un'equazione di secondo grado, che ammette soluzioni reali quando.......
In particolare le soluzioni saranno reali e distinte quando .....
e reali e coincidenti quando .....
Buon lavoro,
S.
Aggiunta: se hai gli strumenti per vedere il sistema da un altro punto di vista (geometria analitica), puoi esplicitare entrambe le equazioni rispetto alla y: la prima rappresenta un fascio di parabole con vertice in O, la seconda un fascio stellato (proprio) di rette per O. Con qualche grafichino o un software di geometria dinamica (geogebra, ad esempio www.geogebra.org fare clic su webstart) puoi visualizzare le intersezioni
ok grazie ad entrambi... mi chiedo anche se sia possibile dire anche quante soluzioni ha utilizzando le matrici...
@mathmum: non stai complicando le cose? La regola generale va bene, ma in questo caso l'equazione è spuria, quindi ammette sempre soluzioni, una delle quali vale 0; per sapere se le soluzioni coincidono il metodo più semplice è vedere se vale 0 anche l'altra.
@Knuckles: non credo si possano usare le matrici; per quanto ne so, il loro uso è limitato ai sistemi di primo grado.
@Knuckles: non credo si possano usare le matrici; per quanto ne so, il loro uso è limitato ai sistemi di primo grado.
"giammaria":
@Knuckles: non credo si possano usare le matrici; per quanto ne so, il loro uso è limitato ai sistemi di primo grado.
sono d'accordo
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