Soluzione sistema di disequazioni letterali
Ho il seguente sistema di disequazioni:
\(\displaystyle \left \{ \begin{array}{l} x_1^2+x_2^2>1\\x_1^2\geq x_2^2\end{array}\right.\)
Voglio determinare la disequazione su $x_1^2+x_2^2$ come se fosse un'unico termine, per fare questo trasformo la seconda similmente alla prima, e il sistema diventa come sotto
\(\displaystyle \left \{ \begin{array}{l}x_1^2+x_2^2>1\\x_1^2+x_2^2 \geq 2x_2^2\end{array}\right. \)
E' qui che mi blocco, il metodo per risolvere la disequazione è quello di mettere su grafico i segni di entrambe le disequazioni e prendere valori dove sono soddisfatte entrambe, ho due valori $1$ e $2x_2^2$ e non so' se mettere prima o dopo $2x_2^2$ rispetto al 1, non so' come proseguire un'aiutino per favore vi sono grato
\(\displaystyle \left \{ \begin{array}{l} x_1^2+x_2^2>1\\x_1^2\geq x_2^2\end{array}\right.\)
Voglio determinare la disequazione su $x_1^2+x_2^2$ come se fosse un'unico termine, per fare questo trasformo la seconda similmente alla prima, e il sistema diventa come sotto
\(\displaystyle \left \{ \begin{array}{l}x_1^2+x_2^2>1\\x_1^2+x_2^2 \geq 2x_2^2\end{array}\right. \)
E' qui che mi blocco, il metodo per risolvere la disequazione è quello di mettere su grafico i segni di entrambe le disequazioni e prendere valori dove sono soddisfatte entrambe, ho due valori $1$ e $2x_2^2$ e non so' se mettere prima o dopo $2x_2^2$ rispetto al 1, non so' come proseguire un'aiutino per favore vi sono grato
Risposte
I sistemi di disequazioni in due incognite si risolvono sul piano cartesiano, quindi ti conviene chiamare $x,y$ le tue incognite; il sistema diventa
${(x^2+y^2>1),(x^2>=y^2):}$
Considerate le equazioni corrispondenti, la prima è ... e ci interessa la parte di piano esterna ad essa; la seconda è l'insieme delle bisettrici dei quadranti e ci interessano le parti di piano a destra e a sinistra; sulla figura vedi quando sono entrambe verificate. Di solito non si cerca di dare una risposta in formule.
${(x^2+y^2>1),(x^2>=y^2):}$
Considerate le equazioni corrispondenti, la prima è ... e ci interessa la parte di piano esterna ad essa; la seconda è l'insieme delle bisettrici dei quadranti e ci interessano le parti di piano a destra e a sinistra; sulla figura vedi quando sono entrambe verificate. Di solito non si cerca di dare una risposta in formule.
Non va bene questa come soluzione:
Dato che $2x_2^2$ può essere sia maggiore che minore di 1 allora divido in due il sistema, ottengo:
\(\displaystyle \left \{ \begin{array}{l} 2x_1^2>1\\x_1^2+x_2^2>1\\x_1^2+x_2^2\geq 2x_2^2\end{array}\right.\)
\(\displaystyle \left \{ \begin{array}{l} 2x_1^2<1\\x_1^2+x_2^2>1\\x_1^2+x_2^2\geq 2x_2^2\end{array}\right.\)
Otterrei come soluzione:
\(\displaystyle \left(x_1^2+x_2^2>2x_2^2 \land 2x_2^2>1\right) \lor \left(x_1^2+x_2^2>1 \land 2x_2^2<1\right) \)
Che diventerebbe quindi:
\(\displaystyle \left[|x_1|>|x_2| \land \left(x_2<-\frac{\sqrt{2}}{2} \lor x_2>\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right] \lor \left(x_1^2+x_2^2>1 \land -\frac{\sqrt{2}}{2}
Dato che $2x_2^2$ può essere sia maggiore che minore di 1 allora divido in due il sistema, ottengo:
\(\displaystyle \left \{ \begin{array}{l} 2x_1^2>1\\x_1^2+x_2^2>1\\x_1^2+x_2^2\geq 2x_2^2\end{array}\right.\)
\(\displaystyle \left \{ \begin{array}{l} 2x_1^2<1\\x_1^2+x_2^2>1\\x_1^2+x_2^2\geq 2x_2^2\end{array}\right.\)
Otterrei come soluzione:
\(\displaystyle \left(x_1^2+x_2^2>2x_2^2 \land 2x_2^2>1\right) \lor \left(x_1^2+x_2^2>1 \land 2x_2^2<1\right) \)
Che diventerebbe quindi:
\(\displaystyle \left[|x_1|>|x_2| \land \left(x_2<-\frac{\sqrt{2}}{2} \lor x_2>\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right] \lor \left(x_1^2+x_2^2>1 \land -\frac{\sqrt{2}}{2}
Nel complesso è giusto, però $x_1^2+x_2^2>1$ non è risolta ed hai digitato $2x_1^2$ al posto di $2x_2^2$.
Un altro metodo semplice, che fa scrivere facilmente la soluzione, è fare le sostituzioni
${(X=x_1^2),(Y=x_2^2):}$
con le quali il sistema diventa
${(X+Y>1),(X>=Y):}$ con soluzione ${(X>1/2),(1-X
${(|x_1|>1/sqrt2),(sqrt(1-x_1^2)<|x_2|<=|x_1|):}$
Un altro metodo semplice, che fa scrivere facilmente la soluzione, è fare le sostituzioni
${(X=x_1^2),(Y=x_2^2):}$
con le quali il sistema diventa
${(X+Y>1),(X>=Y):}$ con soluzione ${(X>1/2),(1-X
${(|x_1|>1/sqrt2),(sqrt(1-x_1^2)<|x_2|<=|x_1|):}$
Il fatto che $x_1^2+x_2^2>1$ non sia risolta è voluto, cioé mi interessa avere l'espressione in quel modo, per l'errore non me ne ero accorto xD, comunque buon metodo il tuo è meno lungo, grazie mille per l'aiuto.
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