Soluzione equazione
Ciao a tutti!
Stamattina mi sono trovata di fronte ad un esercizio: verificare che l'equazione $senx=x$ ammette un'unica soluzione.
Attraverso la risoluzione grafica l'intervallo in cui sono presenti le intersezioni dovrebbe essere $[0;90]$.
Applicando per il teorema dell'esistenza delle radici e verificato che la funzione è continua ottengo $f(90)=-89$ e $f(0)=0$.
Mi chiedo esistono radici nell'intervallo? $f(0)=0$ devo considerarlo come un valore positivo?
Stamattina mi sono trovata di fronte ad un esercizio: verificare che l'equazione $senx=x$ ammette un'unica soluzione.
Attraverso la risoluzione grafica l'intervallo in cui sono presenti le intersezioni dovrebbe essere $[0;90]$.
Applicando per il teorema dell'esistenza delle radici e verificato che la funzione è continua ottengo $f(90)=-89$ e $f(0)=0$.
Mi chiedo esistono radici nell'intervallo? $f(0)=0$ devo considerarlo come un valore positivo?
Risposte
Io ti consiglio di studiare la funzione $y=x-sinx$.
Teoricamente dovresti vedere se puoi applicare il teorema degli zeri per garantire l'esistenza di almeno una radice e poi dimostrare che non ce ne possono essere altre.
In questo caso, è immediato osservare che la funzione è continua e si annulla in zero.
Per provare che non si annulla in nessun altro punto può essere conveniente studiarne la monotonia.
Prova un po' a vedere cosa ti esce !
Teoricamente dovresti vedere se puoi applicare il teorema degli zeri per garantire l'esistenza di almeno una radice e poi dimostrare che non ce ne possono essere altre.
In questo caso, è immediato osservare che la funzione è continua e si annulla in zero.
Per provare che non si annulla in nessun altro punto può essere conveniente studiarne la monotonia.
Prova un po' a vedere cosa ti esce !
Per prima cosa, se vuoi verificare l'uguaglianza, devi considerare gli angoli in radianti, e non in gradi. Poi:
per x>1 o per x< -1 l'uguaglianza non può essere vera perchè sen x è sempre compreso fra -1 e 1.
A questo punto la ricerca si riduce all'intervallo [ - 1 , 1] , che però non è comodo perchè seno di 1 radiante quant'è?, Allora prendiamo l'intervallo $ [-pi/2;+pi/2] $ che contiene il precedente ed è più comodo. Le soluzioni, se esistono, sono in questo intervallo.
Dal grafico della funzione y = sen x è noto che in questo intervallo la funzione è crescente (o non decrescente a seconda del testo) e che volge la concavità verso l'alto nella prima metà dell'intervallo e verso il basso nella seconda metà.
Nell'origine c'è un flesso. Calcolando la derivata di y = sen x, che è y' = cos x, e sostituendo x=0 si ottiene y' = 1, che è il coefficiente angolare della tangente nell'origine. La retta tangente sarà perciò y = x (che è la seconda funzione).
Nell'origine quindi le due funzioni y = sen x e y = x hanno un punto in comune.
Allora: sen x = x per x = 0 e in nessun altro punto perchè nella prima metà dell'intervallo scelto la funzione sta sempre sopra la retta tangente e nella seconda metà sempre sotto (vedi discorso sulle concavità fatto in precedenza).
Morale della favola: c'è una sola soluzione.
per x>1 o per x< -1 l'uguaglianza non può essere vera perchè sen x è sempre compreso fra -1 e 1.
A questo punto la ricerca si riduce all'intervallo [ - 1 , 1] , che però non è comodo perchè seno di 1 radiante quant'è?, Allora prendiamo l'intervallo $ [-pi/2;+pi/2] $ che contiene il precedente ed è più comodo. Le soluzioni, se esistono, sono in questo intervallo.
Dal grafico della funzione y = sen x è noto che in questo intervallo la funzione è crescente (o non decrescente a seconda del testo) e che volge la concavità verso l'alto nella prima metà dell'intervallo e verso il basso nella seconda metà.
Nell'origine c'è un flesso. Calcolando la derivata di y = sen x, che è y' = cos x, e sostituendo x=0 si ottiene y' = 1, che è il coefficiente angolare della tangente nell'origine. La retta tangente sarà perciò y = x (che è la seconda funzione).
Nell'origine quindi le due funzioni y = sen x e y = x hanno un punto in comune.
Allora: sen x = x per x = 0 e in nessun altro punto perchè nella prima metà dell'intervallo scelto la funzione sta sempre sopra la retta tangente e nella seconda metà sempre sotto (vedi discorso sulle concavità fatto in precedenza).
Morale della favola: c'è una sola soluzione.
Grazie mille a tutti e due 
Figurati, spero ti sia più chiaro.
A risentirci, ciao
A risentirci, ciao
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