SNS (1962/1963) - Problema 2

[†Sally†111]

E' dato un circolo di raggio r. Determinare un triangolo isoscele che sia circoscritto al circolo e tale che la differenza tra uno dei lati uguali e la metà della base sia d. Si preferisce una soluzione puramente geometrica.

In spoiler la mia soluzione non so se valida...

Si richiede un triangolo isoscele circoscritto ad un cerchio di base b, altezza h e lato l, vedi immagine (recuperata su internet e modificata alla meno peggio, non ho i programmi adatti) http://i45.tinypic.com/30w8t38.png. In quanto segmenti di tangenza NK=BK, ma per definizione di triangolo isoscele NK=NT=b/2. Per ipotesi è l-b/2=d quindi d=BP, altro segmento di tangenza. Per il teorema della secante e della tangente:
PN:BP=BP: (PN-2r) cioè h:d=d: (h-2r)
Il problema sarebbe risolto se consideriamo d come parametro qualsiasi, però mi è venuto il dubbio che d indicasse il diametro della circonferenza e nel caso in questione sarebbe:
h:d=d: (h-d)
cioè il diametro risulterebbe essere sezione aurea dell'altezza quindi:
d= h($ sqrt(5) $-1)/2 cioè h=2r($ sqrt(5) $+1)/2
Non saprei quale delle due interpretazioni sia corretta...

[giammaria2]

Secondo me, d è solo l'iniziale di "differenza" e indica un parametro qualsiasi. Per il resto, la tua soluzione è bella, ma la completerei indicando con quale costruzione geometrica si può disegnare il triangolo, noti r e d.

[†Sally†111]

però così banalizzi la soluzione... cioè ti esce una frazione algebrica ne indichi il dominio però mi sembra abbastanza sul vago... con la sezione aurea è più bella oltre che come "soluzione puramente geometrica" mi sembra più sensata

[giammaria2]

Come "soluzione puramente geometrica" io avrei inteso fare la figura senza disturbare le formule, ma non è detto che io abbia ragione. Si può comunque senz'altro aggiungere "nel caso particolare in cui d indica il diametro ..." e passare all'algebra.