SISTEMI PARAMETRICI MISTI

[generico]

Ragazzi vi prego,ho bisogno della soluzione dettagliata di questo esercizio,perchè riesco a trovare solo 1 delle 2 soluzioni che mi fornisce il libro.
Data la parabola x=-(4/3)y^2+3
trovare i punti P(x,y) appartenenti all'arco di parabola situato nel primo quadrante tali che risulti
3kx+ky=k-1 (k appartenente ai reali con 0) fascio improprio di rette parallele
/////////////////
oppure
Data la parabola x=-((y^2)/4)+1
trovare i punti P(x,y) appartenenti all'arco di parabola situato nel primo quadrante tali che risulti
4kx+ky=k-4 (k appartenente ai reali con 0) fascio improprio di rette parallele
/////////////////
oppure (questo è un mistero mi viene una soluzione grafica diversa rispetto a quella del libro)
data la parabola y=-(1/3)x^2-2x
determinare un punto P(x,y) contenuto nel secondo quadrante di essa in modo tale che risulti:
y+2x-y=k (con k appartenente ai reali positivi)


ILLUMINATEMI VI PREGO!!!

[BIT5]

Guarda, l'ho provato e riprovato, ma il risultato non mi viene comunque.

Io ti posto i passaggi (sommariamente), magari trovi l'errore di conto (se c'e'. :))

Per prima cosa ho trovato l'ordinata del Vertice (-b/2a=0)

Poi ho posto a sistema

[math] \{3kx+ky=k-1 \\ x=- \frac{4}{3}y^2+3 [/math]

Da cui ricavo

[math] 3k(- \frac{4}{3}y^2+3)+ky=k-1 [/math]

e pertanto, moltiplicando e cambiando i segni

[math] 4ky^2-ky-(8k+1)=0 [/math]

Risolvendo con la formula delle equazioni di secondo grado ottengo

[math]y_{1,2}= \frac{k \pm \sqrt{129k^2+16k}}{8k} [/math]

Che da' due soluzioni per

[math]k \le - \frac{16}{129} \ U \ k>0 [/math]

(k>0 in senso stretto perche' k=0 non ha senso (se scrivi il fascio in forma esplicita, vedrai che k va al denominatore e pertanto dovra' essere diverso da zero..)

A questo punto sappiamo che y dev'essere >0 perche' stiamo cercando le intersezioni solo con il ramo della parabola che sta nel primo quadrante.

Allora dobbiamo prendere le soluzioni distinte:

[math] \frac{k + \sqrt{129k^2+16k}}{8k} \ge 0 [/math]

Risolviamo.

[math] N>0 \to \sqrt{129k^2+16k} \ge -k [/math]

(ed ecco che qui si presenta l'anomalia delle soluzioni)

Ricordando che una disequazione del tipo

[math] \sqrt{A(x)}>B(x) [/math]

si risolve attraverso l'unione delle soluzioni dei sistemi

[math] \{B(x)B(x)^2[/math]

Discutendo Numeratore e denominatore (positivo per k>0)
io ottengo come soluzioni

[math]k>0 \ U \ - \frac{16}{129} \le k \le - \frac{1}{8}[/math]

Mentre per la seconda soluzione

[math] \frac{k - \sqrt{129k^2+16k}}{8k} \ge 0[/math]

ottengo

[math] N: \sqrt{129k^2+16k}