Sistemi omogenei e altri sistemi particolari

[duepiudueugualecinque]

ho un sistema omogeneo di quarto grado:

$ax^2 +bxy + cy^2 = d$

$a'x^2 +b'xy +c'y^2 = d'$

è un sistema, c'è la graffa anche se non l'ho messa...

allora caso: $ d = 0 $ e $ d' = 0 $

risolvo il tutto con il metodo di risoluzione specifico e arrivo ad avere 2 equazioni di secondo grado con un'unica incognita...

il punto è che il libro una volta trovate le quattro soluzioni ( perchè il delta è positivo in tutte e due) ...mi dice l'unica soluzione comune è $2$, sostituiamo questa soluzione nell'equazione $y=tx$ ed otteniamo $y = 2x$....quindi il sistema ammette come soluzioni tutte le coppie del tipo $($ $\alpha$;$2\alpha$ $)$, per ogni $\alpha$ appartenente a $R$

il punto è, ma se non trovo una soluzione comune la soluzione è $0$? o devo dire che il sistema non ha soluzione?...

[@melia]

A parte il fatto che un sistema è davvero omogeneo se le sue equazioni sono omogenee e quando c'è il termine noto le equazioni non sono omogenee, a parte questo, dicevo: se tu avessi un sistema con le equazioni $\{(x^2-1=0),(x^2+x-2=0):}$ nonostante le due equazioni ammettano entrambe due soluzioni, l'unica soluzione accettabile è $x=1$ perché soluzione di entrambe le equazioni.
Mettere a sistema significa cercare le soluzioni comuni alle equazioni che compaiono nella forma. Nel tuo caso specifico devi cercare la soluzione comune ad entrambe le equazioni, in teoria dovresti risolvere una delle equazioni e provare a controllare se le sue soluzioni sono soluzioni anche dell'altra, ma risolverle entrambe e cercare l'eventuale soluzione comune è più semplice.

[duepiudueugualecinque]

"@melia":A parte il fatto che un sistema è davvero omogeneo se le sue equazioni sono omogenee e quando c'è il termine noto le equazioni non sono omogenee, a parte questo, dicevo: se tu avessi un sistema con le equazioni $\{(x^2-1=0),(x^2+x-2=0):}$ nonostante le due equazioni ammettano entrambe due soluzioni, l'unica soluzione accettabile è $x=1$ perché soluzione di entrambe le equazioni.
Mettere a sistema significa cercare le soluzioni comuni alle equazioni che compaiono nella forma. Nel tuo caso specifico devi cercare la soluzione comune ad entrambe le equazioni, in teoria dovresti risolvere una delle equazioni e provare a controllare se le sue soluzioni sono soluzioni anche dell'altra, ma risolverle entrambe e cercare l'eventuale soluzione comune è più semplice.

no, questo mi è chiaro, la soluzione del sistema deve essere soluzione di tutte le sue equazioni...

infatti nel libro c'era una di esempio in cui avevano in comune la soluzione $2$...ma io intendo se non hanno soluzioni in comune che devo fare?...a me verrebbe da dire che il sistema non ha soluzioni, però so che nella traccia dell'esercizio $d$ e $d'$ sono entrambi $0$... quindi devo dire che lo $0$ è l'unica soluzione comune o lascio stare e dico che il sistema è impossibile?

p.s.

l'esempio del libro è questo:

$6x^2 -5xy +y^2 = 0$
$2x^2 -3xy +y^2 = 0$

dice di inserire un incognita $t$ e porla $t = y/x$ da cui $y=tx$, sostituisco $t$ a $y$ e, con questo sistema poi si riesce a risolvere il tutto...

le quattro soluzioni sono : $t1 = 2 , t2 = 3 , t'1 = 2 , t'2 = 1$

e fa notare che siccome l'unica soluzione comune è $2$ e, siccome so che $y = tx$ sostituisco con $ y = 2x$ ed ottengo l'insieme delle soluzioni cioè ($\alpha ; 2\alpha$) per ogni $\alpha$ ecc... ecc...

ma se avessi un sistema senza soluzioni comuni, ma scritto in questo modo:

$ax^2 -bxy +cy^2 = 0$
$a'x^2 -b'xy +c'y^2 = 0$

devo dire che il sistema ha come soluzione $0$ o devo dire che è irrisolvibile?

[@melia]

Un sistema omogeneo, di qualunque grado, ammette tra le soluzioni quella nulla.

[duepiudueugualecinque]

"@melia":Un sistema omogeneo, di qualunque grado, ammette tra le soluzioni quella nulla.

thx... =)