Sistemi lineari: quesito strano

[massimopioioaks]

Buonasera ragazzi.
Avrei un quesito da chiedervi per una verifica di matematica sui sistemi lineari, ed in particolare sul metodo di sostituzione.
Allora, non riesco a rispondere al seguente quesito:
Il metodo di sostituzione non si può applicare se i termini noti delle equazioni del sistema lineare sono nulli.
(vero o falso)?

Per rispondere, ho effettuato una prova sul seguente sistema costituito da due equazioni:2x+5y=0 e poi 3x-y=0
Bene, se applico il metodo di sostituzione alla fine troverò che sia x che y saranno uguali a 0... sempre.
Questa situazione sarà valida per qualsiasi esercizio, credo... ma otterrei sempre un coppia di valori (x,y)=(0,0) nonostante il sistema sia comunque determinato (dal rapporto dei coefficienti).

Quindi, in conclusione, posso applicarlo oppure no?

Grazie.

[mgrau]

Un sistema con i termini noti nulli (sistema omogeneo) ha sempre la soluzione nulla, e non occorre nessun sistema speciale per trovarla.
Oltre a questa soluzione, può averne altre (infinite) solo se le varie equazioni non sono linearmente indipendenti, ma queste non le puoi trovare col metodo di sostituzione, che alla fine porterà in ogni caso a qualcosa della forma $x = 0$

[massimopioioaks]

Ti ringrazio, quindi in sostanza è possibile applicarlo ma non è utile?

[mgrau]

Ti dirò che non mi è tanto chiaro il punto. Un sistema omogeneo ha sempre la soluzione nulla, e non c'è bisogno di cercarla.
in ogni caso, il metodo di sostituzione trova questa soluzione. Ma anche gli altri, mi pare...
Forse stiamo parlando delle eventuali soluzioni non nulle?

[massimopioioaks]

Si, certo. Ovviamente anche con gli altri metodi la soluzione sarà sempre (x,y)=(0,0).
A prescindere dalle soluzioni, che come hai detto, posso essere altre (infinite) solo se le varie equazioni non sono linearmente indipendenti, possiamo concludere alla luce di questi ragionamenti che tutti i metodi possono essere applicati anche se i termini noti sono nulli?

[gugo82]

Il metodo di sostituzione si può applicare sempre, così come il metodo di riduzione, a meno che le equazioni del sistema non abbiano tutti i coefficienti nulli (caso che non ha alcun interesse pratico).
L'unico metodo che si può applicare ad un ventaglio più ristretto di casi è quello di Cramer: infatti, affinché il metodo di Cramer si possa applicare c'è bisogno che il sistema sia quadrato ed il determinante dei coefficienti sia non nullo.