Sistemi esponenziali

[fede_841]

Ciao a tutti, non so come procedere nel risolvere i seguenti sistemi esponenziali/logaritmici:

$\{(y^x=10^4),(y^(1/x)=10):}$

$\{(xy=1/2),(x^(log_2 y)=1/4):}$

Nel secondo posso procedere direttamente con il metodo grafico? Nel primo c'e un modo per semplificare?
Aspetto i vostri consigli per poter procedere. Grazie!

[Camillo]

Per il primo sistema farei così : applico il log in base 10 ad entrambe le equazioni ottenendo:
$x*log y =4 ; 1/x*log y =1 $ dividendo membro a membro ottengo :; $x/(1/x) = 4 $ da cui...

[gugo82]

La stessa cosa, ma col $log_2$, funziona nel secondo sistema, che diventa un sistema di secondo grado nelle incognite $log_2 x$ e $log_2 y$.

[fede_841]

Perfetto, il primo mi risulta la coppia (2;2) mentre il secondo semplificando mi ritrovo con una retta x+y=1/2 e un omografica xy=1/4.
Dovrebbero essere corretti purtroppo il libro non dà i risultati..Grazie e alla prossima!

[axpgn]

???

[Camillo]

Verifica se le soluzioni che hai trovato sono corrette, sostituendo i valori nel sistema iniziale....

[fede_841]

Si giusto non ho fatto la verifica, allora nella prima la x=+-2 e le coppie sono (2;100) e (-2;1/100). Nella seconda mi ritrovo cosi:

$\{(log_2 x+log_2 y=log_2 (1/2)),(log_2 yxxlog_2 x=log_2 (1/4)):}$

Posso dividere membro a membro?

[@melia]

Esattamente per cosa vuoi dividere?

Siccome $log_2 (1/2)=-1$ e $log_2(1/4)=-2$, puoi chiamare $log_2 x=w$ e $log_2 y=z$, il sistema diventa

$\{(w+z=-1),(w*z=-2 ):}$

[fede_841]

Risolto grazie..trovato due coppie di coordinate e per il domf: y>0, una coppia soltanto è soluzione.

[Camillo]

Perché nel primo esercizio $x $ non può assumere valori negativi ?

[fede_841]

"Camillo":Perché nel primo esercizio $x $ non può assumere valori negativi ?

Può assumerli, se vedi infatti ho preso entrambi i valori di $x$

[Camillo]

ok mi era sfuggito