Sistema trigonometrico ciclico

[giannirecanati]

Risolvendo un problema di geometria sintetica è sbucato questo sistema:
\(\displaystyle \begin{cases} \cos\frac{B+C}{2}-\sin\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}=\cos\frac{A+C}{2}-\cos\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\cos \frac{C}{2} \\ \cos\frac{A+C}{2}-\cos\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}=\cos\frac{A+B}{2}-\cos\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}\cos \frac{C}{2} \end{cases} \)
A,B e C sono gli angoli di un triangolo, il risultato è A=B=C.
Considerando la prima equazione ho pensato di usare la formula di addizione del coseno, dividere i due membri per \(\displaystyle \cos\frac{C}{2} \), e così si raccolgono i termini \(\displaystyle \cos\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}-\sin\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}=\sin{B-A}{2} \), ma non sono riuscito a risolvere. Ho anche provato ad espandere inizialmente i coseni per poi sostituire tutti i seni e coseni con la tangente, ma viene fuori qualcosa di mostruoso.

[minomic]

Secondo me può essere utile la seguente osservazione: $$A+B+C=\pi$$ $$\cos \frac{B+C}{2} = \cos \frac{\pi-A}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{A}{2}\right) = \sin \frac{A}{2}$$ E analogamente negli altri casi.