SIstema simmetrico ( Community di skuola.it help!)

[Kelevra__]

Salve a tutti, tra poco ho un esame di recupero di matematica e ripassando mi sono inceppato in un esercizio che non riesco a capire come svolgere: http://i29.tinypic.com/2r2u2jk.jpg
Potreste aiutarmi? Grazie in anticipo!!

[BIT5]

Allora

[math] \{ x+y+xy=11 \\ x^2+y^2+x^2y^2=49 [/math]

Chiamiamo la quantità

[math] x+y=s[/math]

e la quantita'

[math] xy=p [/math]

La prima equazione diventa, banalmente

[math] s+p=11 [/math]

Per la seconda dobbiamo ragionarla cosi':

[math] x^2+y^2=(x+y)^2-2xy [/math]

infatti il quadrato di un binomio, se lo sviluppiamo, genera anche il doppio prodotto del primo monomio per il secondo.

quindi

[math] x^2+y^2+(xy)^2=49 \to (x+y)^2-2xy+(xy)^2=49 [/math]

[math] s^2-2p+p^2=49 [/math]

E pertanto il sistema finale da risolvere sara'

[math] \{ s+p=11 \\ s^2-2p+p^2=49 [/math]

Dalla prima ricaviamo che

[math] s=11-p [/math]

e sostituendo nella seconda

[math] (11-p)^2-2p+p^2=49 [/math]

[math] 121-22p+p^2-2p+p^2=49 \to 2p^2-24p+121=49 [/math]

[math] 2p^2-24p+72=p \to p^2-12p+36=0 [/math]

[math] p^2-12p+36 [/math]

è il quadrato del binomio

[math] x-6 [/math]

pertanto

[math](x-6)^2=0 \to p_1=p_2=6 [/math]

dalla prima equazione avevamo trovato che

[math] p=11-s \to 6=11-s \to s=5 [/math]

A questo punto, banalmente

[math] \{ x+y=5 \\ xy=6 [/math]

[math] x=5-y [/math]

[math] (5-y)y=6 \to 5y-y^2=6 \to y^2-5y+6=0 [/math]

che risolta da'

[math] y_1=2 \ y_2=3 [/math]

e pertanto

[math]x_1=3 \ x_2=2 [/math]

Le soluzioni finali del sistema sono le coppie

[math] \{x=2 \\ y=3 [/math]

[math] \{x=3 \\ y=2 [/math]

ovviamente le coppie sono "simmetriche" dal momento che sia addizione che moltiplicazione godono della proprieta' commutativa.

[Kelevra__]

Super spiegazione. Grazie!!

[BIT5]

Figurati, a disposizione!
Chiudo

:hi