Sistema logaritmico
Ragazzi, sto impazzendo su questo sistema:
$log_2 (x^2) - 2log_2 (y)=2$
A SISTEMA CON
$2^x+2^(y+1)-8=0$.
Sto provando e riprovando, ma sti logaritmi sono davvero poco chiari, e domani c'è compito.... qualcuno di buona volontà potrebe postarmi il procedimento?
Grazie mille a tutti, anticipatamente.
$log_2 (x^2) - 2log_2 (y)=2$
A SISTEMA CON
$2^x+2^(y+1)-8=0$.
Sto provando e riprovando, ma sti logaritmi sono davvero poco chiari, e domani c'è compito.... qualcuno di buona volontà potrebe postarmi il procedimento?
Grazie mille a tutti, anticipatamente.
Risposte
Nella prima equazione potresti portare il $2$ davanti al logaritmo ad esponente dell'argomento (nota che prima di far questo devi supporre $y > 0$), in modo da fondere i due logaritmi sfruttando una nota proprietà. A questo punto ti ricavi $\frac{x^2}{y^2}$, da cui puoi trovare il valore di una variabile in funzione dell'altra. Lo sostituisci nella seconda equazione...
Scusa, puoi spiegarti meglio? Come ricavo $x^2/y^2$?
Ho fuso i logaritmi sfruttando la proprietà del logaritmo di un quoziente, e trasformato il secondo membro $2$ in $2log_2 (2)$.... Quindi?
Ho fuso i logaritmi sfruttando la proprietà del logaritmo di un quoziente, e trasformato il secondo membro $2$ in $2log_2 (2)$.... Quindi?
dalle proprietà dei logaritmi, viene $(x^2)/(y^2)=4$, cioè $x=+-2y," "con" " y>0$
da $x=2y$, a sistema con l'altra equazione, si ha ${x=2,y=1}$,
ma è possibile che sia anche $x=-2y$ (da quanto è scritto, non è da escludere), solo che questa "sostituzione" nell'altra equazione non porta a soluzioni elementari, che pure ci sono (dall'analisi si prova che ne esistono tre) ... non so se ho sbagliato i conti, comunque prova tu, ricordandoti che nel primo passaggio devi scrivere tutto in logaritmo di base 2.
ciao.
PS. ho visto ora gli altri interventi. $2*log_2y=log_2(y^2)$ e $2=log_2(4)$. spero sia chiaro.
da $x=2y$, a sistema con l'altra equazione, si ha ${x=2,y=1}$,
ma è possibile che sia anche $x=-2y$ (da quanto è scritto, non è da escludere), solo che questa "sostituzione" nell'altra equazione non porta a soluzioni elementari, che pure ci sono (dall'analisi si prova che ne esistono tre) ... non so se ho sbagliato i conti, comunque prova tu, ricordandoti che nel primo passaggio devi scrivere tutto in logaritmo di base 2.
ciao.
PS. ho visto ora gli altri interventi. $2*log_2y=log_2(y^2)$ e $2=log_2(4)$. spero sia chiaro.
Allora....un attimo.
Dalla prima equazione mi esce $x=2y$...è giusto?
Sostituisco il valore trovato per $x$ nella seconda equazione...e poi? la seconda la risolvo con il logaritmo in base 10 applicato a entrambi i membri? o come?
Dalla prima equazione mi esce $x=2y$...è giusto?
Sostituisco il valore trovato per $x$ nella seconda equazione...e poi? la seconda la risolvo con il logaritmo in base 10 applicato a entrambi i membri? o come?
no, come equazione di secondo grado nell'incognita $2^y$:
$2^(2y)+2*2^y-8=0$
però può anche essere $2^(-2y)+2*2^y-8=0$. perché non va considerata?
$2^(2y)+2*2^y-8=0$
però può anche essere $2^(-2y)+2*2^y-8=0$. perché non va considerata?
Scusami davvero Ada, ma ho difficoltà col delta...
se usi un'incognita ausiliaria, ad esempio $2^y=t$, l'equazione diventa:
$t^2+2t-8=0$. va meglio?
$t^2+2t-8=0$. va meglio?
Si, dovrebbe andare meglio....
adesso ho alla prima $x=2y$; sostituendo nella seconda, ponendo l'incognita ausiliaria e ritornando poi a $2^y=t$, mi viene $y=1$, e l'altra è impossibile perchè ho $2^y=-4$.
Fin qui ci sono.
Ora? Il risultato del sistema è $x=2 V y=1$ o sbaglio?
adesso ho alla prima $x=2y$; sostituendo nella seconda, ponendo l'incognita ausiliaria e ritornando poi a $2^y=t$, mi viene $y=1$, e l'altra è impossibile perchè ho $2^y=-4$.
Fin qui ci sono.
Ora? Il risultato del sistema è $x=2 V y=1$ o sbaglio?
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