Sistema lineare omogeneo 2x2

[franchinho]

Salve, ho risolto molti esercizi sui sistemi lineari, utilizzando Cramer e Rouchè-Capelli, ma li so risolvere solo con un sistema assegnato; adesso l'esercizio mi chiede invece: scrivere un sistema lineare omogeneo $2x2$ ($2$ incognite e $2$ equazioni) con $infty^1$ gradi di libertà e calcolarne le soluzioni. Un sistema lineare omogeneo è un sistema che ammette sempre la soluzione banale, e in cui i termini noti del sistema sono $=0$. Quindi mi devo inventare questo sistema, quale potrebbe essere? In pratica mi interessa solo il testo dell'esercizio, poi lo risolvo io. Grazie.

[Camillo]

Questo sistema ad esempio :

$x+2y =0 $
$3x+6y= 0 $

è $2x2 $ omogeneo ed ha $oo^1 $ soluzioni .

[franchinho]

Ahaha, ho capito lo scopo dell'esercizio, bisogna fare in modo che il rango sia 1!!! Grazie mille camillo.

[Camillo]

Certo , se il rango fosse 2 , avresti una sola soluzione che sarebbe per forza quella banale che esiste sempre in un sistema omogeneo.
Per completare scrivi le $oo ^1 $ soluzioni..

[franchinho]

$S={-2y;y:yepsilonR}$, corretto?

[@melia]

Sì, perché credo che volessi scrivere $S={-2y;y:yinRR}$

[franchinho]

Sicuramente, $y$ appartenente a $R$.

[franchinho]

Quale potrebbe essere un esempio di sistema lineare $2x2$ in cui non si può applicare Cramer?

[minomic]

Ciao, ad esempio questo: $$\begin{cases}x+y=1 \\ 2x+2y=2\end{cases}$$ Prova a calcolare il determinante della matrice incompleta...

[franchinho]

è $0$.

[minomic]

Esatto, quindi Cramer non si può applicare.

[franchinho]

Ma anche nell'omogeneo di Camillo il determinante è nullo, quindi anche quello va bene, o forse no?

[minomic]

Sì va bene anche quello.

[franchinho]

sì ma in questo caso se io estraggo un minore di ordine 1 dalla incompleta (un minore di ordine pari al rango), potrei poi applicare cramer a questo minore perché ha determinante non nullo.

[minomic]

E l'altra incognita che fine fa?

[franchinho]

Quindi Cramer, nel caso di incompleta nulla, lo potrei applicare al minore, solo nel caso in cui le incognite fossero più del numero delle equazioni, corretto?