Sistema lineare indeterminato
Buongiorno a tutti,
ho un dubbio da fugare. Sono alle prese con la risoluzione di sistemi lineari a 3 equazioni e 3 incognite, solo che durante lo svolgimento di un sistema, che è risultato essere indeterminato, mi sono chiesto: la variabile che assume infiniti valori, tranne ovviamente quelli non accettabili per le condizioni di esistenza assunte all’inizio, è presa arbitrariamente? Faccio un esempio:
Sistema
$\{((2x-3z)/(1-y)=1),((x-3z)/(y+1)=2),(y=3(x-2z-1)):}$
Dopo averlo ridotto a forma normale e risolto, trovo che:
$\{(x=x),(y=-1/3(x+1)),(z=(6x-4)/9):}$
Con $x!=-4^^x!=2$
Quindi la soluzione sono tutte le terne $(x;y;z)$ assegnando a $x$ un valore ad arbitrio, tranne i valori non accettabili, e calcolando i valori di $y$ e $z$ con le uguaglianze trovate nella soluzione; in soldoni il sistema si riduce a due equazioni con tre incognite.
E qui sorge la domanda posta all’inizio, cioè: la variabile indeterminata è solo $x$ o posso scegliere arbitrariamente quale delle tre considerare come indeterminata?
Grazie.
ho un dubbio da fugare. Sono alle prese con la risoluzione di sistemi lineari a 3 equazioni e 3 incognite, solo che durante lo svolgimento di un sistema, che è risultato essere indeterminato, mi sono chiesto: la variabile che assume infiniti valori, tranne ovviamente quelli non accettabili per le condizioni di esistenza assunte all’inizio, è presa arbitrariamente? Faccio un esempio:
Sistema
$\{((2x-3z)/(1-y)=1),((x-3z)/(y+1)=2),(y=3(x-2z-1)):}$
Dopo averlo ridotto a forma normale e risolto, trovo che:
$\{(x=x),(y=-1/3(x+1)),(z=(6x-4)/9):}$
Con $x!=-4^^x!=2$
Quindi la soluzione sono tutte le terne $(x;y;z)$ assegnando a $x$ un valore ad arbitrio, tranne i valori non accettabili, e calcolando i valori di $y$ e $z$ con le uguaglianze trovate nella soluzione; in soldoni il sistema si riduce a due equazioni con tre incognite.
E qui sorge la domanda posta all’inizio, cioè: la variabile indeterminata è solo $x$ o posso scegliere arbitrariamente quale delle tre considerare come indeterminata?
Grazie.
Risposte
Quasi sempre 
In questo caso sì (io per esempio rifacendolo ho trovato $z$ come variabile indipendente).
Se risolvendolo avessi trovato che una variabile NON fosse dipesa da nessun'altra variabile allora quella NON può essere una variabile indipendente in quanto "fissata".
Cordialmente, Alex
In questo caso sì (io per esempio rifacendolo ho trovato $z$ come variabile indipendente).
Se risolvendolo avessi trovato che una variabile NON fosse dipesa da nessun'altra variabile allora quella NON può essere una variabile indipendente in quanto "fissata".
Cordialmente, Alex
Se poi vedi il sistema come le equazioni di tre piani nello spazio, questi, in genere si intersecano a due a due lungo una retta, e tutti e tre in un punto.
Se però il terzo piano interseca gli altri due lungo la STESSA retta (pensa a tre pagine di un libro), allora il sistema è indeterminato, e tutti i punti della retta asse del fascio vanno bene (appartengono a tutti i tre i piani).
Se questa retta ha una direzione qualunque, tutte e tre le variabili prendono tutti i valori in R, così puoi assegnare un valore qualsiasi ad una di esse, e le altre si regolano di conseguenza: ma se questa retta fosse, per es, parallela al piano xy, allora z sarebbe fissa; o se fosse parallela all'asse z, allora x e y sarebbero fisse, e potrebbe variare solo z. E puoi pensare tanti altri casi particolari...
Se però il terzo piano interseca gli altri due lungo la STESSA retta (pensa a tre pagine di un libro), allora il sistema è indeterminato, e tutti i punti della retta asse del fascio vanno bene (appartengono a tutti i tre i piani).
Se questa retta ha una direzione qualunque, tutte e tre le variabili prendono tutti i valori in R, così puoi assegnare un valore qualsiasi ad una di esse, e le altre si regolano di conseguenza: ma se questa retta fosse, per es, parallela al piano xy, allora z sarebbe fissa; o se fosse parallela all'asse z, allora x e y sarebbero fisse, e potrebbe variare solo z. E puoi pensare tanti altri casi particolari...
"axpgn":
Quasi sempre
In questo caso sì (io per esempio rifacendolo ho trovato $z$ come variabile indipendente).
Se risolvendolo avessi trovato che una variabile NON fosse dipesa da nessun'altra variabile allora quella NON può essere una variabile indipendente in quanto "fissata".
Cordialmente, Alex
Quindi nel caso in cui una variabile assumesse un valore costante?
Grazie
Sì ... comunque non mi fisserei sui vari casi ma guarderei le soluzioni: in questo caso si vede subito che basta manipolarle algebricamente per renderle dipendenti da un'altra variabile ... per esempio poni $y=k$ e riscrivi le soluzioni, vedrai che tutte dipendono da $k$ (peraltro io scriverei $x=k$ invece di $x=x$ ... IMHO )
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Grazie mille per il suggerimento. Applico i tuoi che nsigli e poi ti farò sapere.
Buona serata.
Buona serata.
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