Sistema lineare
discutere il seguente sistema:
$\{(x+a*y=1), (a*x+y=1), (-x+y=1):}$
ho posto la matrice completa del sistema: A': $((1, a, 1), (a, 1, 1), (-1, 1, 1))$ e ho calcolato il determinante che viene $a^2-1$ quindi questo l'ho posto diverso da 0, quindi mi viene che: $a != +- 1$: poichè il rago della matrice del sistema è diverso dal rango della matrice completa, per il teorema di rouche capelli, il sistema è impossibile per i valori $a != +- 1$. per a=1, hanno lo stesso rango e quindi il sistema è possibile e determinato, ciò che mi lascia perplesso è per a=-1... è impossibile?
$\{(x+a*y=1), (a*x+y=1), (-x+y=1):}$
ho posto la matrice completa del sistema: A': $((1, a, 1), (a, 1, 1), (-1, 1, 1))$ e ho calcolato il determinante che viene $a^2-1$ quindi questo l'ho posto diverso da 0, quindi mi viene che: $a != +- 1$: poichè il rago della matrice del sistema è diverso dal rango della matrice completa, per il teorema di rouche capelli, il sistema è impossibile per i valori $a != +- 1$. per a=1, hanno lo stesso rango e quindi il sistema è possibile e determinato, ciò che mi lascia perplesso è per a=-1... è impossibile?
Risposte
per a=-1 il rango della matrice dei coefficienti mi pare sia 1, non 2. ricontrolla. ciao.
appunto, è quello che non mi torna, quindi per a=-1 i ranghi sono diversi ( matrice dei coefficienti è 1, per la completa è 2), quindi per a=-1 il sistema è impossibile..ma prima avevo posto che il sistema è impossibile per $ a != +-1$...
per $ a != +-1$ la matrice completa ha rango 3 e l'incompleta rango 2, quindi i due ranghi sono diversi e il sistema è impossibile
per $a=-1$ la matrice completa ha rango 2 e l'incompleta rango 1, quindi i due ranghi sono diversi e il sistema è impossibile
per $a=1$ entrambe le matrici hanno rango 2 che essendo uguale al numero delle variabili permette di dire che il sistema è possibile determinato.
Riassumendo per $ a != 1$ il sistema è impossibile e per $a=1$ il sistema è possibile determinato.
per $a=-1$ la matrice completa ha rango 2 e l'incompleta rango 1, quindi i due ranghi sono diversi e il sistema è impossibile
per $a=1$ entrambe le matrici hanno rango 2 che essendo uguale al numero delle variabili permette di dire che il sistema è possibile determinato.
Riassumendo per $ a != 1$ il sistema è impossibile e per $a=1$ il sistema è possibile determinato.
ecco, poi una cosa che non ho capito, solitamente per discutere un sistema clacolo il determinante A dei coefficienti, per poi porlo diverso da 0 e analizzo tutti i casi...perchè in questo caso ho calcolato il determinante della matrice completa? perchè la matrice A non è quadrata? quindi quando sono in questo caso in generale devo calcolare il determinante della matrice quadrata?
per discutere le soluzioni di un sistema devi applicare il teorema di Rouchè Capelli che parla del confronto tra rango della matrice incompleta e quello della matrice completa. Per determinare il rango quando non ci sono parametri la via più breve è quella della triangolazione delle matrice, ma se ci sono dei parametri la via più breve, se c'è almeno una matrice quadrata, è quella di calcolare il suo determinante. A volte la matrice quadrata è quella completa a volte l'incompleta. Il tuo scopo resta, tuttavia, quello di determinare il rango delle 2 matrici nel modo più semplice.
il sistema è possibile (cioè determinato o indeterminato) se e solo se la matrice dei coefficienti e la matrice completa hanno lo stesso rango.
se il numero di equazioni è uguale al numero di incognite (sistema nxn), vuol dire che la matrice dei coefficienti è quadrata. se ha determinante diverso da zero, ha rango n. aggiungendo una colonna, il rango non può essere maggiore.
nel tuo caso le incognite sono 2, le equazioni sono 3. il rango della matrice dei coefficienti non può essere maggiore di 2, ma se aggiungi una colonna è possibile che la matrice completa abbia rango 3.
naturalmente nessuna affermazione di quelle "possibili" è scontata: il rango potrebbe essere uguale o diverso, va verificato. di certo però il rango della matrice dei coefficiente non può essere maggiore del rango della matrice completa (poiché ne è una sottomatrice).
non so se ho risposto alla tua domanda, spero di aver chiarito qualche dubbio. ciao.
se il numero di equazioni è uguale al numero di incognite (sistema nxn), vuol dire che la matrice dei coefficienti è quadrata. se ha determinante diverso da zero, ha rango n. aggiungendo una colonna, il rango non può essere maggiore.
nel tuo caso le incognite sono 2, le equazioni sono 3. il rango della matrice dei coefficienti non può essere maggiore di 2, ma se aggiungi una colonna è possibile che la matrice completa abbia rango 3.
naturalmente nessuna affermazione di quelle "possibili" è scontata: il rango potrebbe essere uguale o diverso, va verificato. di certo però il rango della matrice dei coefficiente non può essere maggiore del rango della matrice completa (poiché ne è una sottomatrice).
non so se ho risposto alla tua domanda, spero di aver chiarito qualche dubbio. ciao.
quando non ci sono dei parametri come calcolo i ranghi?? perchè io calcolo sempre i determinanti delle matrici e sottomatrici...in cosa consiste la "triangolazione della matrice" ?
i minori sono i determinanti delle sottomatrici quadrate. il rango è l'ordine del più "grande minore" diverso da zero.
triangolazione è il procedimento che ti porta ad avere una matrice dei coefficienti di "forma triangolare" nel senso che o al di sopra o al di sotto della diagonale principale della matrice ogni termine è uguale a zero.
es. $((4,0,0,0),(1,2,0,0),(1,2,3,0),(4,0,5,6))$
in termini di equazioni, significa ad esempio che la prima equazione ha solo l'incognita x, la seconda x,y, la terza x,y,z, la quarta x,y,z,t (al massimo),...
è chiaro?
ciao.
triangolazione è il procedimento che ti porta ad avere una matrice dei coefficienti di "forma triangolare" nel senso che o al di sopra o al di sotto della diagonale principale della matrice ogni termine è uguale a zero.
es. $((4,0,0,0),(1,2,0,0),(1,2,3,0),(4,0,5,6))$
in termini di equazioni, significa ad esempio che la prima equazione ha solo l'incognita x, la seconda x,y, la terza x,y,z, la quarta x,y,z,t (al massimo),...
è chiaro?
ciao.
ma in ogni caso i determinanti delle sottomatrici quadrate li devo calcolare, vero?
sì, ma basta trovarne uno diverso da zero per poter affermare che il rango della matrice è almeno pari all'ordine del minore ...
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