Sistema lineare 3 parametri, 4 equazioni
Ciao a tutti,
ho un problema con la risoluzione di questo esercizio. La consegna è la seguente:
Sia $S$ il sistema a coefficienti reali
$\{(kx + y + z - 2t + u = 3),(2x + 3y + 3z - 2kt + u = 4),(-x + 11y + 2z + 3t + 2ku = 1),(-2y -t -u = 0):}$
Dire se rispetto alla terna $(x, z, u)$ il sistema
(1) non è risolubile per nessun valore valore di $k in RR$;
(2) è risolubile per almeno un valore di $k in RR$;
(3) è risolubile per infiniti valori di $k in RR$.
Ora la mia domanda è: se le incognite scelte sono quelle tre significa che le rimanenti due diventeranno dei parametri come k? Ho applicato Rouché- Capelli e la matrice incompleta risulta essere:
$((k, 1, 1),(2, 3, 1),(-1, 2, 2k),(0, 0, -1))$, mentre quella completa $((k, 1, 1, -y, 2t, 3),(2, 3, 1, -3y, 2kt, 4),(-1, 2, 2k, -11y, -3t, 1),(0, 0, -1, 2y, t, 0))$. Il rango della matrice incompleta è 3 ma... qui mi sono bloccato! Il sistema deve essere risolubile perché il numero di incognite è inferiore rispetto al numero di equazioni no? Poi però come proseguo?? E' la prima volta che mi imbatto su un' esercizio simile...
Grazie!
ho un problema con la risoluzione di questo esercizio. La consegna è la seguente:
Sia $S$ il sistema a coefficienti reali
$\{(kx + y + z - 2t + u = 3),(2x + 3y + 3z - 2kt + u = 4),(-x + 11y + 2z + 3t + 2ku = 1),(-2y -t -u = 0):}$
Dire se rispetto alla terna $(x, z, u)$ il sistema
(1) non è risolubile per nessun valore valore di $k in RR$;
(2) è risolubile per almeno un valore di $k in RR$;
(3) è risolubile per infiniti valori di $k in RR$.
Ora la mia domanda è: se le incognite scelte sono quelle tre significa che le rimanenti due diventeranno dei parametri come k? Ho applicato Rouché- Capelli e la matrice incompleta risulta essere:
$((k, 1, 1),(2, 3, 1),(-1, 2, 2k),(0, 0, -1))$, mentre quella completa $((k, 1, 1, -y, 2t, 3),(2, 3, 1, -3y, 2kt, 4),(-1, 2, 2k, -11y, -3t, 1),(0, 0, -1, 2y, t, 0))$. Il rango della matrice incompleta è 3 ma... qui mi sono bloccato! Il sistema deve essere risolubile perché il numero di incognite è inferiore rispetto al numero di equazioni no? Poi però come proseguo?? E' la prima volta che mi imbatto su un' esercizio simile...
Grazie!
Risposte
Avevo iniziato con questa risposta:
Il rango della matrice incompleta è 3 per ogni valore di k, o ci sono dei valori di k per cui tale rango è inferiore a 3? e ci sono dei valori di k per cui il rango della completa può essere maggiore di 3?
Poi mi sono accorta che il tuo ragionamento è corretto, ma hai operato in modo errato: tutto quello che non contiene le incognite deve andare a secondo membro perché fa parte del termine "noto", cioè della componente del sistema che non contiene incognite.
Il rango della matrice incompleta è 3 per ogni valore di k, o ci sono dei valori di k per cui tale rango è inferiore a 3? e ci sono dei valori di k per cui il rango della completa può essere maggiore di 3?
Poi mi sono accorta che il tuo ragionamento è corretto, ma hai operato in modo errato: tutto quello che non contiene le incognite deve andare a secondo membro perché fa parte del termine "noto", cioè della componente del sistema che non contiene incognite.
"gibo24":
Il sistema deve essere risolubile perché il numero di incognite è inferiore rispetto al numero di equazioni no?
No, non è detto.
Il sistema ammette soluzioni se (e solo se) il rango della completa è uguale al rango della incompleta.
Il rango della incompleta -come hai detto- è 3.
Come dice @melia, fai attenzione che la completa è una matrice con 4 colonne, come l'hai scritta te ha 6 colonne...
Devi imporre che il suo rango sia 3 affinchè il sistema ammetta soluzioni.
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