Sistema lineare

[angela.russotto]

Quest’anno si è formata una nuova classe quarta, per cui gli studenti decidono di organizzare una
serata in pizzeria. Vengono consumate 13 pizze, 14 focacce e 37 birre, spendendo in tutto € 258.
La settimana successiva, Paolo invita Nora, una delle sue nuove compagne di scuola, con alcuni
amici comuni, nella stessa pizzeria. Vengono consumate 7 pizze, 5 focacce e 14 birre, spendendo
in tutto € 111. Una sera escono da soli: Paolo prende una pizza, una focaccia e due birre, Nora
una pizza e una birra. Quanto hanno speso? (tutte le pizze hanno lo stesso prezzo, così come le
focacce e le birre).
Ragionamento:
Ho provato ad impostare un sistema lineare: $ { ( 13P+14F+3
7B=258 ),( 7P+5F+14B=111 ),( 2P+F+3B=TOTALE ):} $ . Abbiamo quattro incognite e solo tre equazioni complete , quindi ho cercare di considerare in blocco la terza equazione, in modo da arrivare al termine noto (senza considerare individualmente il valore delle singole variabili). Ho provato a moltiplicare o anche a sottrarre direttamente le due prime equazioni, ma non ho trovato la soluzione.

[ingres]

27 ?

[mgrau]

"zaser123":. Abbiamo quattro incognite e solo tre equazioni complete ....

A dire il vero le equazioni sono DUE, ma comunque, in generale, ci sono infinite soluzioni.
A questo si può però aggiungere la condizione che le cifre decimali non siano più di due, o, essendo ottimisti, che non ce ne siano proprio, ossia che le soluzioni siano intere. Ma non saprei come formalizzare la cosa.

[angela.russotto]

"ingres":

27 ?

Sì esatto, come si imposta il problema?

[ingres]

Ovviamente dobbiamo supporre che si tratti di numeri interi. Consideriamo le due equazioni:

$13P+14F+37B=258$
$7P+5F+14B=111 $

Sottraiamo la seconda dalla prima ottenendo

$23B = 147 - 6P - 9F$

Il secondo membro è tutto divisibile per 3 mentre al primo membro ho 23 che è primo. Quindi B deve essere divisibile per 3.
Se prendiamo B=3 avremo F=4 e P=7, interi che soddisfano le equazioni. Per cui

$2P+F+3B=27$

[@melia]

Ho scelto una strada diversa e arrivo allo stesso risultato.
Ho considerato la matrice associata al sistema $((13,14,37,258),(7,5,14,111),(2,1,3,x))$ e ho calcolato il determinante della matrice incompleta $|(13,14,37),(7,5,14),(2,1,3)| $ che viene $0$. La matrice incompleta ha rango 2 e l'unico modo perché il sistema abbia soluzioni è che anche la matrice completa abbia rango 2.
Mi sono calcolata il determinante della matrice ottenuta sostituendo la terza colonna con quella dei termini noti
$|(13,14,258),(7,5,111),(2,1,x)|= 891-33x$, ho posto il determinante uguale a $0$ e ho ottenuto $x=27$.

[angela.russotto]

Grazie a tutti

[ingres]

"@melia":ho calcolato il determinante della matrice incompleta ... che viene 0.

Credo che si possa utilizzare questo fatto per semplificare questa soluzione. Se il determinante è nullo vuol dire che la terza equazione è direttamente ricavabile dalle altre due.
Infatti moltiplicando la prima per -1/11 e la seconda per 5/11 si ottiene la terza. E quindi la soluzione sarà $-1/11*258+5/11*111=27$

[@melia]

"ingres":[quote="@melia"]ho calcolato il determinante della matrice incompleta ... che viene 0.

Credo che si possa utilizzare questo fatto per semplificare questa soluzione. Se il determinante è nullo vuol dire che la terza equazione è direttamente ricavabile dalle altre due. [/quote]
Esatto!