Sistema facile.. Credo..

[POPY91]

Ciao a tutti una mia amica mi ha chiesto aiuto su un sistema.. Io non lo so risolvere (almeno credo)..
è così:


x^2+y^2-5x-5y=15

xy=6


Spero che PER VOI sia facile, ho provato a far diventare x=6/y ma mi viene un casotto. Confido in voi

[xico87]

tranquillo, lo sai risolvere di sicuro... devi continuare per la strada intrapresa, facendo attenzione alle incognite al denominatore, cioè imponendo y diverso da 0.
scusa ma diventerei pazzo a scriverti la soluzione in latex...

[POPY91]

Ok, mi ero un pò perso..
Scusate ho visto solo ora il modo per scrive tutto nel linguaggio corretto. La prossima volta provvederò

[SuperGaara]

Beh tanto facile non è!
Innanzitutto questo è un sistema simmetrico, infatti scambiando tra di loro le incognite il sistema non cambia.
Se ti metti a risolvere questo sistema con il metodo della sostituzione, ti ritrovi ad un certo punto con una "bella" equazione di quarto grado completa, difficilmente risolvibile.
Il metodo che in questo caso ti consiglio è il seguente: hai a disposizione il prodotto xy, allora usalo.

Se pensi che

[math](x+y)^2=x^2+y^2+2xy[/math]

, si capisce che

[math]x^2+y^2=(x+y)^2-2xy[/math]

.

Perciò rendi

[math]x^2+y^2-5x-5y=15[/math]

come

[math](x+y)^2-2xy-5(x+y)-15=0[/math]

.

Fatto questo sostituisci xy con 6 e troverai un'equazione di secondo grado dove l'incognita è x+y: se vuoi semplificarti la formula risolutiva chiama x+y come t e procedi a risolvere:

[math] t^2-5t-27=0[/math]

Viene:

[math]t=x+y=\frac{5\pm\sqrt{133}}{2}[/math]

Dopo aver trovato i valori di x+y (sono due, uno prendendo il segno positivo, l'altro con il segno negativo) ti ritrovi a conoscere la somma e il prodotto di due variabili. Utilizza queste informazioni, scrivendo e risolvendo l'equazione di secondo grado che ha come coefficiente di primo grado la somma cambiata di segno, e come termine noto il prodotto.

1°Equazione:

[math]k^2-\frac{5+\sqrt{133}}{2}k+6=0[/math]

2°Equazione:

[math]k^2-\frac{5-\sqrt{133}}{2}k+6=0[/math]

Non risolvo queste due equazioni perchè viene fuori un contaccio: ti invito infatti a controllare la traccia.

Una volta risolte le due equazioni, per ognuna di esse trovi due valori: per ognuna delle equazioni hai due soluzioni del sistema, una dove la x sarà la prima radice trovata e la y la seconda, e un'altra dove la y sarà la prima radice trovata e la x la seconda.

Concludo dicendo che, quando ti trovi di fronte ad un sistema simmetrico, ti conviene sempre intraprendere la strada che ti ho descritto in quanto i calcoli che trovi sono più semplici (a parte in questo caso dove secondo me è sbagliato il testo).