Sistema di secondo-esercizio

[galles90]

Buonasera amici

il mio testo di esercizi svolge il seguente sistema :

\(\displaystyle \begin{equation}
   \begin{cases}
   (x+y)^2=0 \\x^2-y^2=0
   \end{cases}
\end{equation} \)

dando come soluzione \(\displaystyle y=-x \), invece risolvendolo mi trovo \(\displaystyle x=y=0 \), come da svolgimento:

\(\displaystyle \begin{equation}
   \begin{cases}
   (x+y)^2=0 \\x^2=y^2
   \end{cases}
\end{equation} \to\) \(\displaystyle \begin{equation}
   \begin{cases}
   (x+y)^2=0 \\ \sqrt {x^2}=\sqrt{y^2}
   \end{cases}
\end{equation} \to \ \ \) \(\displaystyle \begin{equation}
   \begin{cases}
   (x+y)^2=0 \\ x=y
   \end{cases}
\end{equation} \to \ \ \)\(\displaystyle \begin{equation}
   \begin{cases}
   (2y)^2=0 \\ x=y
   \end{cases}
\end{equation} \to \ \ \) \(\displaystyle \begin{equation}
   \begin{cases}
   y=0 \\ x=0
   \end{cases}
\end{equation} \ \ \)

Non capisco dove sbaglio

Grazie infinitamente

[mgrau]

Da $x^2 = y^2$ NON segue $x =y$ ma $x = +-y$

[teorema55]

L'osservazione di mgrau è ancora più evidente considerando che

$x^2 -y^2=0 -> (x+y)(x-y)=0 -> x=+-y$

Bisogna notare però che la prima equazione diventa, nel caso

$x=-y -> 0=0$ (una identità, vera per ogni $x$)

mentre se

$x=y -> (2y)^2 =0 -> x=y=0$

Riassumendo, la soluzione ritengo sia

ANY $x=-y$ OR $x=y=0$

[mgrau]

"teorema55": la soluzione ritengo sia

ANY $x=-y$ OR $x=y=0$

Beh, x=y=0 mi pare inclusa in x = -y

[teorema55]

"mgrau":
Beh, x=y=0 mi pare inclusa in x = -y

Uhm....al di là della vacuità della questione mi sembra più corretto escludere tutti gli

$x=y\ne0$

[@melia]

Perché escludere la coppia $(0, 0)$? Non si tratta di un sistema fratto.

[teorema55]

Non lo escludo, al contrario. Ma deve dirsi anche che è l'unica soluzione se $x=y$ !

[mgrau]

"teorema55":
Riassumendo, la soluzione ritengo sia

ANY $x=-y$ OR $x=y=0$

Concordo sulla futilità della questione... però: se la soluzione è ANY $x=-y$, E BASTA, mi pare che gli $x = y ne 0$ sono già esclusi automaticamente... perchè dirlo di nuovo?

[@melia]

La mia perplessità sta

sia nel ribadire $x=y=0$,

sia nel porre $x=y!=0$.

La coppia $(0, 0)$ non va esclusa con $x=y!=0$, né indicata a parte con $x=y=0$, visto che è già compresa nella soluzione generale $x= -y$.

[teorema55]

Esiste anche una soluzione valida

$x=y=0$

Non ritengo sia compresa in

$x=-y$

[mgrau]

E' appena il caso di notare che $0 = -0$ ...