Sistema di grado superiore al primo

[Athena3]

Ciao a tutti! Ho provato e riprovato, ma non so come risolvere questo sistema.

$\{((x+a)/(2a-1) + (y-a)/(2a+1)= (2a(a+2))/(4a^2-1)),(x^2-y^2=2a^2):}$

Cercando di ridurre in forma normale la prima equazione, ottengo:
$(x+a)(2a+1) +(y-a)(2a-1)= 2a^2+4a$

$2ax+x+2a^2+a+2ay-y-2a^2+a=2a^2+4a$

$x(2a+1)+y(2a-1)=2a(a+1)$

A questo punto isolando una delle due incognite, per poi sostituire nella seconda equazione, mi verrebbe una cosa mostruosa che non so continuare:

$\{( x = (2a^2+2 -y(2a-1))/(2a+1)), (((2a^2+2 -y(2a-1))/(2a+1))^2- y^2=2a^2):}$

Dove sbaglio?

[alberto.cena]

Magari è solo un errore di scrittura, ma
$ x = (2a^2+2 a -y(2a-1))/(2a+1)$.
Sostituendo ottieni:
$4 y^2 + 2 (a+1)(2a-1)y - a[2(a+1)^2- (2a+1)^2]=0$
Il discriminante di questa equazione diventa mansueto, dopo averlo domato:
$\Delta/4 = (a+1)^2(2a-1)^2+ 4a [2(a+1)^2- (2a+1)^2] = (a+1)^2 [(2a-1)^2 + 8a ] - 4a (2a+1)^2 = (a+1)^2(2a +1)^2 - 4a (2a+1)^2 = (2a+1)^2 [(a+1)^2 -4a] = (2a+1)^2 (a-1)^2$.

Per aiutarti con questi conti ti consiglio di affiancare alle indispensabili e insostituibili carta e penna, l'uso un CAS (Computer Algebra System), cioè un programma per il calcolo simbolico oltre che numerico. Io uso Maxima che, a differenza dei più noti Mathematica, Maple e Deriva, ha il pregio di essere open sources:
http://maxima.sourceforge.net/

[valerio cavolaccio]

non l'ho ancora completato tutto solo che a me alla prima equazione viene così:
$(2a+1)(x+a)+ (2a-1)(y-a)=2a(a+2)$
svolgendo i calcoli
$2ax+x+2a^2+a+2ay-y-2a^2+a=2a^2+4a$
$x(2a+1)+y(2a-1)=2a(a-1)$
non so chi ha ragione fra me e te ma l'ho rifatto più volte e a me viene così.

[Athena3]

[quote=5InGold]Magari è solo un errore di scrittura, ma
$ x = (2a^2+2 a -y(2a-1))/(2a+1)$.


Si ho sbagliato a copiare.
Cmq, avevo provato a svolgere quell'enorme quadrato ma poi mi ero persa nei calcoli, credendo che forse c'era un metodo più veloce o che sbagliavo qualcosa nel semplificare la prima equazione.
Adesso vedo se, risovendo l'equazione che hai ricavato, il sistema risulta.
Prima ho scordato di scriverli ma i risultati sono:
$\{(x=(3a)/2),(y=-a/2):}$
$\{(x=(1+2a^2)/2),(y=(1-2a^2)/2):}$

[alberto.cena]

Io ho svolto l'enorme quadrato pensando il numeratore della base come somma algebrica di due blocchi:
$(2a(a+1)-y(2a-1))^2 = 4a^2(a+1)^2 + y^2(2a-1)^2 - 4a(a+1)(2a-1)y$

[Athena3]

5InGold,risolvendo la tua equazione a me vengono risultati sbagliati, ma forse sbaglio io...A te risulta?

[alberto.cena]

$y_{1,2} = \frac{-(a+1)(2a-1) \pm \sqrt{(2a+1)^2(a-1)^2}}{4} = \frac{-(2a^2+a-1) \pm (2a^2-a-1)}{4}$
e i risultati tornano. In realtà, ho tolto i quadrati con leggerezza, senza utilizzare i valori assoluti. Adesso penso ai valori assoluti

[alberto.cena]

... non c'è molto da pensare. Quando $-1/2

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[Athena3]

Non ti preoccupare dei valori assoluti, ci fanno lavorare solo in R+.
Ti ringrazio per l'aiuto.
Ho provato a rifare i tuoi passi ma non arrivo alla stessa equazione finale, errori di calcolo sicuramente. Li controllerò con Maxima.
Ma come si fa a scrivere una cosa del genere $y^2(x+1)$ ? Mi dice sempre errore riguardo al y^2.

[alberto.cena]

"Athena":Non ti preoccupare dei valori assoluti, ci fanno lavorare solo in R+.

Anche se $a \in \mathbb R^+$, dovresti usare i valori assoluti. Ad esempio
$\sqrt{(a-1)^2} = |a-1|$ perché se $0

"Athena":
Ma come si fa a scrivere una cosa del genere $y^2(x+1)$ ? Mi dice sempre errore riguardo al y^2.

Usi * per la moltiplicazione? y^2*(x+1)

[Athena3]

"5InGold":[quote="Athena"]Non ti preoccupare dei valori assoluti, ci fanno lavorare solo in R+.

Anche se $a \in \mathbb R^+$, dovresti usare i valori assoluti. Ad esempio
$\sqrt{(a-1)^2} = |a-1|$ perché se $0

"Athena":
Ma come si fa a scrivere una cosa del genere $y^2(x+1)$ ? Mi dice sempre errore riguardo al y^2.

Usi * per la moltiplicazione? y^2*(x+1)[/quote]

Ora ho capito, non pensavo di dover mettere * anche lì.
Lo so dei valori assoluti, ma non mi chiedono neanche quello, mi fanno dare per scontato che (a - 1) è maggiore o uguale a zero.
Grazie ancora per gli aiuti, ciao!

[valerio cavolaccio]

comunque non ho mai visto l'utilità nel fare tutti questi calcoli senza la minima logica. un conto è fare i sistemi un conto è frare quaranta minuti di calcoli avendo la paura di sbagliare un segno che scombina tuttoche