Sistema di equazioni sostituzione
Ciao volevo capire il ragionamento che sta dietro al metodo di sostituzione nel sistema di due equazioni. Non quindi come si procede ma il ragionamento che permette di capire perché è possibile sostituire.
Risposte
Semplicemente perché se due oggetti sono equivalenti (o uguali) usare uno o usare l'altro è la stessa cosa quindi uso quello che mi fa più comodo.
Per il significato di uguaglianza. Dire che $a=f(b)$ significa che in ogni espressione in cui compare $a$ al posto di $a$ si può scrivere $f(b)$.
Mi chiedo perché esplicitando un'incognita utilizzando un equazione e sostituendo tale incognita nell'altra equazione riesco a trovare il valore dell'altra incognita. Scusate per la domanda stupida.
Te lo abbiamo detto in due, mi pare(va) chiaro, però posta qualche esempio concreto e vediamo …
$\{(y=x),(y=3x-1):}$
Allora sostituendo $y$ (già esplicitata)della prima equazione nella seconda con il metodo di sostituzione posso risolvere il sistema.
$\{(y=x),(y=3y-1):} => \{(y=1/2),(x=1/2):}$
Quello che mi chiedo è che il sistema lo posso risolvere anche uguagliando $x=3x-1$ in questo modo mi è chiaro il ragionamento. Ma non intendo il perché se sostituisco la variabile esplicitata trovo esattamente il punto delle coordinate. Probabilmente è lo stesso medesimo ragionamento.Grazie
Allora sostituendo $y$ (già esplicitata)della prima equazione nella seconda con il metodo di sostituzione posso risolvere il sistema.
$\{(y=x),(y=3y-1):} => \{(y=1/2),(x=1/2):}$
Quello che mi chiedo è che il sistema lo posso risolvere anche uguagliando $x=3x-1$ in questo modo mi è chiaro il ragionamento. Ma non intendo il perché se sostituisco la variabile esplicitata trovo esattamente il punto delle coordinate. Probabilmente è lo stesso medesimo ragionamento.Grazie
Sinceramente ho capito poco …
Il sistema è questo ${(y=x),(y=3x-1):}$ ?
Le soluzioni di un'equazione (o di un sistema di equazioni) sono quei valori (e solo quelli) da dare alle incognite affinché le uguaglianze siano vere.
Quindi, solo per i valori di $x$ e $y$ che sono soluzioni del sistema, entrambe queste uguaglianze ($y=x$ e $y=3x-1$) sono contemporaneamente vere.
Ne consegue che, quando uso i valori delle soluzioni, data la prima uguaglianza, $x$ e $y$ hanno lo stesso valore perciò posso usare l'una al posto dell'altra incognita in tutte le uguaglianze del sistema. Ok?
Questo mi permette di "far sparire" la $y$ nella seconda uguaglianza riducendola ad un'equazione di primo grado in una sola incognita (che posso facilmente risolvere); lo posso fare perché, come detto, $x$ e $y$ hanno lo stesso valore a causa della prima uguaglianza. Ok?
Cordialmente, Alex
Il sistema è questo ${(y=x),(y=3x-1):}$ ?
Le soluzioni di un'equazione (o di un sistema di equazioni) sono quei valori (e solo quelli) da dare alle incognite affinché le uguaglianze siano vere.
Quindi, solo per i valori di $x$ e $y$ che sono soluzioni del sistema, entrambe queste uguaglianze ($y=x$ e $y=3x-1$) sono contemporaneamente vere.
Ne consegue che, quando uso i valori delle soluzioni, data la prima uguaglianza, $x$ e $y$ hanno lo stesso valore perciò posso usare l'una al posto dell'altra incognita in tutte le uguaglianze del sistema. Ok?
Questo mi permette di "far sparire" la $y$ nella seconda uguaglianza riducendola ad un'equazione di primo grado in una sola incognita (che posso facilmente risolvere); lo posso fare perché, come detto, $x$ e $y$ hanno lo stesso valore a causa della prima uguaglianza. Ok?
Cordialmente, Alex
Quindi è come dire che se $y=x$ allora la $x$ in $y=3x-1$ deve essere uguale a $y$ se il sistema vale. Giusto? Sono cose che usano la definizione
Giusto.
Un'ultima cosa come interpreteresti l'equazione $y=3y-1$ grazie
Non ho capito cosa intendi precisamente ma se ti riferisci alla validità di tale equazione è perfettamente "legale".
È assolutamente indifferente quali sostituzioni tu faccia, è sufficiente che siano legittime; ovviamente è meglio fare quelle più convenienti (in questo caso è del tutto indifferente usare una o l'altra)
È assolutamente indifferente quali sostituzioni tu faccia, è sufficiente che siano legittime; ovviamente è meglio fare quelle più convenienti (in questo caso è del tutto indifferente usare una o l'altra)
Ok ho capito la legalità di tale equazione. Ma secondo te può essere interpretato il significato (teorico) di $y=3y-1$. Grazie della pazienza
"Speranza":
… il significato (teorico) di $y=3y-1$. …
???
Il valore della $y$ che eguaglia tale equazione $y=3y-1$ (che sarebbe $1/2$) perché è in corrispondenza dell'intersezione tra le due rette?? Cioè perché sostituendo trovo le coordinate dell'intersezione? Che informazione apporto sostituendo una variabile Grazie di nuovo
Ho l'impressione che non ti sia chiaro che se
$y=x$ è anche $x=y$.
$y=3y-1$ è semplicemente una equazione in una incognita, non capisco cosa cerchi.
$y=x$ è anche $x=y$.
$y=3y-1$ è semplicemente una equazione in una incognita, non capisco cosa cerchi.
Quello si era solamente capire perché sostituendo trovo l'intersezione. In pratica se due rette si incontrano allora la $y$ di una è uguale all'altra quindi posso sostituire nell'altra equazione. Giusto ? È questo il mio dubbio
La sostituzione non c'entra niente con l'intersezione …
"Sostituire" è solo (si fa per dire) una tecnica per giungere alla soluzione ma in qualsiasi modo tu giunga alla soluzione va bene lo stesso, anche perché se una soluzione al sistema esiste, essa è unica, è con "unica" non intendo necessariamente una sola coppia $(x, y)$ ma l'insieme delle coppie che avverano contemporaneamente le due uguaglianze è unico.
Invece, perché la coppia risolutiva di un sistema di due equazioni di primo grado è il punto di intersezione di due rette?
Perché ogni funzione resa con una espressione di primo grado in una variabile $f(x)=y=mx+q$ rappresenta una retta e ogni coppia $(x, y)$ che soddisfa l'equazione $y=mx+q$ rappresenta un punto del piano appartenente a tale retta.
Due rette del piano possono avere un punto in comune, nessun punto o tutti i punti delle rette.
Quindi un sistema di due equazioni di primo grado in due variabili rappresenta due rette e dato che le soluzioni del sistema sono le coppie che soddisfano entrambe le equazioni, le soluzioni sono anche punti appartenenti ad entrambe le rette.
Se le rette hanno solo un punto in comune, la soluzione del sistema rappresenta le coordinate di quel punto.
"Sostituire" è solo (si fa per dire) una tecnica per giungere alla soluzione ma in qualsiasi modo tu giunga alla soluzione va bene lo stesso, anche perché se una soluzione al sistema esiste, essa è unica, è con "unica" non intendo necessariamente una sola coppia $(x, y)$ ma l'insieme delle coppie che avverano contemporaneamente le due uguaglianze è unico.
Invece, perché la coppia risolutiva di un sistema di due equazioni di primo grado è il punto di intersezione di due rette?
Perché ogni funzione resa con una espressione di primo grado in una variabile $f(x)=y=mx+q$ rappresenta una retta e ogni coppia $(x, y)$ che soddisfa l'equazione $y=mx+q$ rappresenta un punto del piano appartenente a tale retta.
Due rette del piano possono avere un punto in comune, nessun punto o tutti i punti delle rette.
Quindi un sistema di due equazioni di primo grado in due variabili rappresenta due rette e dato che le soluzioni del sistema sono le coppie che soddisfano entrambe le equazioni, le soluzioni sono anche punti appartenenti ad entrambe le rette.
Se le rette hanno solo un punto in comune, la soluzione del sistema rappresenta le coordinate di quel punto.
Sostituire come hai detto è una tecnica per trovare quelle coppie che uguaglieranno contemporaneamente le due equazioni . Ma c'è un'idea/ragionamento dietro questa tecnica di sostituire? Grazie della enorme pazienza
L'idea è questa: sia \(P=(x_p,y_p) \) il punto d'intersezione tra due rette ad esempio \(a: y=x-1 \) e \(b: y=3x-1 \). Siccome è punto d'intersezione \( P \) giace su entrambe le rette allora le sue coordinate soddisfano entrambe le equazioni quindi \( y_p = x_p - 1 \) e \( y_p = 3x_p -1 \).
Se conosci \( x_p \) come trovi \( y_p \) ? Sostituisci il valore in una delle due equazioni (ne basta una) e trovi \( y_p \).
Se sai che \(x_p = 0 \) allora per trovare \( y_p \) prendi ad esempio l'equazione della retta \( b \) e sostituisci \(0 \) al posto della \(x_p \) ottenendo \(y_p = 3(0)-1=-1 \).
Edit: in un sistema non conosci a priori \(x_p \) e quindi invece di sostituire il valore della \(x_p \) sostituisci la sua espressione in funzione di \(y_p \) e quindi nella seconda equazione invece di scrivere \(0 \) al posto di \( x_p \) scrivi \( y_p+1 \) e ottenendo quindi \(y_p=3(y_p+1)-1 \) e risolvi un equazione di primo grado per trovare il valore della \(y_p \) per poi trovare \(x_p \).
Se conosci \( x_p \) come trovi \( y_p \) ? Sostituisci il valore in una delle due equazioni (ne basta una) e trovi \( y_p \).
Se sai che \(x_p = 0 \) allora per trovare \( y_p \) prendi ad esempio l'equazione della retta \( b \) e sostituisci \(0 \) al posto della \(x_p \) ottenendo \(y_p = 3(0)-1=-1 \).
Edit: in un sistema non conosci a priori \(x_p \) e quindi invece di sostituire il valore della \(x_p \) sostituisci la sua espressione in funzione di \(y_p \) e quindi nella seconda equazione invece di scrivere \(0 \) al posto di \( x_p \) scrivi \( y_p+1 \) e ottenendo quindi \(y_p=3(y_p+1)-1 \) e risolvi un equazione di primo grado per trovare il valore della \(y_p \) per poi trovare \(x_p \).
"Speranza":
Ma c'è un'idea/ragionamento dietro questa tecnica di sostituire? Grazie della enorme pazienza
L'idea è quella che ti abbiamo già detto tante volte
Ovvero puoi sostituire un oggetto con un altro perché questi due oggetti sono equivalenti
Non ho detto che sono "uguali" (perché potrebbero non esserlo per esempio $5$ è uguale a $5$ ma "solo" equivalente a $3+2$) ma "equivalenti" ovvero che "uno vale l'altro" e se uno vale l'altro la conseguenza è che posso usare uno o l'altro come più mi aggrada, come più mi conviene.
La Matematica è tutta una sostituzione (quasi
)
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