Sistema di disequazioni

[geovito]

ciao,
mi date una mano per questo sistema, grazie.

1) $arcsin^2x>0$
2)$(cos 1)^x>sqrt(cos1)$

La soluzione è $]-1,1/2[ \(0)$, cioè "tranne zero"

Altro dubbio:
dato il sistema
$3^x<3^pi$
$sin x>1/2$
Dà come soluzioni $]pi/6-2npi,5pi/6-2npi[$, con n naturale. Perchè c'è il $-2npi$?
grazie

[_Tipper]

"vitus":1) $arcsin^2x>0$
2)$(cos 1)^x>sqrt(cos1)$

La 1) è verificata per $"arcsin"(x) \ne 0$, cioè per $x \ne k \pi$. La seconda si risolve applicando il logaritmo in base $\cos(1)$ a entrambi membri. Dato che $\cos(1) < 1$, allora si deve cambiare il verso alla disequazione, perché i logaritmo in base minore di $1$ è funzione monotona decrescente, e si ottiene

$x < \log_{\cos(1)}(\cos^{\frac{1}{2}}(1))$, cioè

$x < \frac{1}{2}$

L'arcoseno però ha senso solo se $-1 \le x \le 1$, mettendo a sistema tutte queste condizioni si ottiene

$-1 \le x < \frac{1}{2}$ con $x \ne 0$

[_Tipper]

"vitus":$3^x<3^pi$
$sin x>1/2$

Dalla prima $x < \pi$, e mi sembra chiaro perché. Dalla seconda $\frac{\pi}{6} + 2 k \pi < x < \frac{5}{6} \pi + 2 k \pi$, con $k$ intero. Ma dato che c'è la condizione $x < \pi$ vanno bene solo i $k$ negativi, quindi tanto vale metterci un segno meno, e prendere solo i naturali (fra i quali c'è anche zero).

[geovito]

grazie tipper,
commetto sempre l'errore di non considerare la monotonia decrescente della f(x).
prima o poi non sbaglierò.
grazie