Sistema con disequazioni
Ragazzi ho un problema con questo sistema. In quanto la prima disequazione è biquadratica, e essendo i numeri che mi vengono dal delta negativi, il numeratore della prima disequazione non sarà mai >0
$ { (10/x ^2-(3-x^2)/(x^2+1 )>0 ),( (x^2-5)^2 <=4x^2-15):} $
devo risolvere questo sistema chi mi aiuta spiegandomi anche il grafico? Grazie in anticipo
$ { (10/x ^2-(3-x^2)/(x^2+1 )>0 ),( (x^2-5)^2 <=4x^2-15):} $
devo risolvere questo sistema chi mi aiuta spiegandomi anche il grafico? Grazie in anticipo
Risposte
Ciao e benvenuto sul forum! Prendiamo la prima disequazione: \[
\frac{10x^2+10-3x^2+x^4}{x^2\left(x^2+1\right)}>0
\]\[
\frac{x^4+7x^2+10}{x^2\left(x^2+1\right)}>0
\] Il $Delta$ del numeratore non è negativo ma è pari a $49-40=9$.
\frac{10x^2+10-3x^2+x^4}{x^2\left(x^2+1\right)}>0
\]\[
\frac{x^4+7x^2+10}{x^2\left(x^2+1\right)}>0
\] Il $Delta$ del numeratore non è negativo ma è pari a $49-40=9$.
Si lo so!! Scusate mi sono espresso male !! Mi riferisco alla risoluzione della prima disequazione (che per altro è biquadratica) che viene:
X^2= -1 e x^2= -5 dunque una x al quadrato non potrà mai dare un numero negativo !!!
X^2= -1 e x^2= -5 dunque una x al quadrato non potrà mai dare un numero negativo !!!
Allora: ne possiamo uscire in due modi.
1° metodo: analizzando come è fatto $x^4+7x^2+10$ si nota che si tratta della somma di termini non-negativi. Concludiamo che questo polinomio è sempre $>0$.
2° metodo: con i calcoli. Sia $t=x^2$ \[
t^2+7t+10>0
\]\[
\left(t+2\right)\left(t+5\right)>0
\]\[
t<-5 \vee t > -2
\]\[
x^2 < -5 \Rightarrow \nexists x \in \mathbb{R} \vee x^2 > -2 \Rightarrow \forall x \in \mathbb{R}
\]
1° metodo: analizzando come è fatto $x^4+7x^2+10$ si nota che si tratta della somma di termini non-negativi. Concludiamo che questo polinomio è sempre $>0$.
2° metodo: con i calcoli. Sia $t=x^2$ \[
t^2+7t+10>0
\]\[
\left(t+2\right)\left(t+5\right)>0
\]\[
t<-5 \vee t > -2
\]\[
x^2 < -5 \Rightarrow \nexists x \in \mathbb{R} \vee x^2 > -2 \Rightarrow \forall x \in \mathbb{R}
\]
Ah grazie questo passaggio è andato!! Vediamo se ho capito bene il seguito: una volta fatto questo metto sul grafico numeratore e denominatore della prima disequazione mi studio il segno positivo e poi una volta risolta la seconda disequazione con studio del segno mi faccio un grafico comune dove metto a confronto cercando le soluzioni comuni.
Esatto! 
Grazie davvero tante !!! Bel forum e disponibilissimi.
Figurati! Per altri problemi, siamo qui! 
La prima disequazione ha soluzioni $x!=0$.
Per la seconda si ha
$(x^2-5)^2 <=4x^2-15->$
$x^4-10x^2+25-4x^2+15<=0->$
$x^4-14x^2+40<=0->$
$(x^2-4)(x^2-10)<=0->$
${(x^2-4>=0), (x^2-10<=0):}uu {(x^2-4<0), (x^2-10>0):}->$
$-sqrt(10)<=x<=-2 vv 2<=x<=sqrt(10)$.
Perciò le soluzioni del sistema sono
$-sqrt(10)<=x<=-2 vv 2<=x<=sqrt(10)$
Per la seconda si ha
$(x^2-5)^2 <=4x^2-15->$
$x^4-10x^2+25-4x^2+15<=0->$
$x^4-14x^2+40<=0->$
$(x^2-4)(x^2-10)<=0->$
${(x^2-4>=0), (x^2-10<=0):}uu {(x^2-4<0), (x^2-10>0):}->$
$-sqrt(10)<=x<=-2 vv 2<=x<=sqrt(10)$.
Perciò le soluzioni del sistema sono
$-sqrt(10)<=x<=-2 vv 2<=x<=sqrt(10)$
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