Simmetria rispetto ad una retta generica

[vale9319]

Data la funzione
$ y=(4x)/(2-x) $
e tracciato il grafico, un'iperbole di asintoti x=-2 e y=-4 con O appartenente al grafico, si chiede di dimostrare la simmetria rispetto alla retta r:y=x-6
Ho notato che è parallela rispetto alla retta bisettrice y=x ed ho pensato di traslare l'iperbole di un vettore v(-2;4), dimostrare la simmetria rispetto ad O...ma poi non saprei assolutamente come proseguire...
non so neanche se sapere che è parallela alla bisettrice possa servire qualcosa...

[@melia]

La simmetria rispetto alla retta $y=x$ si verifica scambiando la x con la y, e viceversa. Se effettui una traslazione che porta la retta a coincidere con la bisettrice dl primo e terzo quadrante l'iperbole dovrebbe essere simmetrica rispetto a tale retta e verifichi la simmetria scambiando la x con la y.

[vale9319]

Un secondo. Se traslo la retta y=x-6 e la porto a coincidere con y=x non posso dire che l'iperbole espressa dall'omografica è simmetrica rispetto ad essa.
Lo sarà l'iperbole traslata...non capisco.

Ho appena visto che se traslo l'iperbole di un vettore v(-2;4) ottengo un'iperbole simmetrica rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante, e traslando poi y=x-6 sempre di un vettore v(-2;4) ottengo la bisettrice.
Può essere una dimostrazione sufficiente di simmetria?

[@melia]

Quando ti dico di applicare la traslazione, intendo ovviamente a tutte le funzioni in gioco, quindi alla retta e anche alla funzione omografica, ma la traslazione che ti serve NON è necessariamente quella sul centro dell'iperbole, ma basta una qualunque che sposti la retta nell'origine.
PS quella fche porta il centro dell'iperbole nell'origine è una traslazione che va bene perchè trasforma anche la retta nella bisettrice dei quadranti..

[vale9319]

ah okay, scusa non mi era chiaro.
ma quindi per dimostrare la simmetria è sufficiente traslare funzione omografica e retta in modo che gli asintoti coincidano con gli assi e la retta con la bisettrice e dimostrare la simmetria dell'iperbole rispetto alla bisettrice?

[@melia]

Certo

[Giant_Rick]

"vale9319":Data la funzione
$ y=(4x)/(2-x) $
e tracciato il grafico, un'iperbole di asintoti x=-2

È $2$ e non $-2$.
Io per trovare il punto in cui si incontrano gli asintoti faccio così: quello verticale lo ricavo dal valor che annulla il denominatore, quello orizzontale facendo xnumeratore/xdenominatore.

[@melia]

"Giant_Rick":
Io per trovare il punto in cui si incontrano gli asintoti faccio così: quello verticale lo ricavo dal valor che annulla il denominatore, quello orizzontale facendo xnumeratore/xdenominatore.

E fai bene, è la via più breve, ed è sicura, nel senso che è sempre corretta.

[Giant_Rick]

"@melia":[quote="Giant_Rick"]
Io per trovare il punto in cui si incontrano gli asintoti faccio così: quello verticale lo ricavo dal valor che annulla il denominatore, quello orizzontale facendo xnumeratore/xdenominatore.

E fai bene, è la via più breve, ed è sicura, nel senso che è sempre corretta.[/quote]
In terza ho studiato delle formule astruse per rcavare ciò;in quarta abiamo cambiato insegnante ed è tutta un' altra cosa; penso che rimpiangerò questo modo elastico di ragionare.