Similitudine
Dimostra che due trapezi aventi i lati proporzionali sono simili.
Ragionamento:
1)Ho provato a tracciare le diagonali dei trapezi, considerando i triangoli, ma mancano elementi di similitudine. 2) Ho provato a tracciare le parallele ai lati obliqui dagli estremi della base minore e ho ragionato con Talete, ma non riesco a dimostrare la proporzionalità includendo almeno una diagonale dei trapezi in modo da ricollegarmi al primo punto e dimostrare la similitudine.
Ragionamento:
1)Ho provato a tracciare le diagonali dei trapezi, considerando i triangoli, ma mancano elementi di similitudine. 2) Ho provato a tracciare le parallele ai lati obliqui dagli estremi della base minore e ho ragionato con Talete, ma non riesco a dimostrare la proporzionalità includendo almeno una diagonale dei trapezi in modo da ricollegarmi al primo punto e dimostrare la similitudine.
Risposte
Comincerei con dire che due trapezi sono simili se
- hanno i lati in proporzione
- hanno gli stessi angoli
La prima condizione è data.
Per dimostrare la seconda, si possono prolungare i lati obliqui, ottenendo due triangoli. In questi triangoli, i lati ottenuti prolungando i lati obliqui del trapezio hanno lo stesso rapporto dei lati del trapezio, quindi i due triangoli così ottenuti sono simili. Quindi hanno gli stessi angoli, che però sono anche quelli del trapezio.
EDIT Mi accorgo che bisogna intendersi su cos'è un trapezio.
Si può dire:
A - un quadrilatero con due lati paralleli
oppure
B - un quadrilatero con due lati paralleli E due lati NON paralleli
Se si adotta A, i trapezi includono i parallelogrammi. Ma allora la tesi in questione non è vera. Due parallogrammi con i lati in proporzione non sono necessariamernte simili (Es. un quadrato di lato 1 e un rombo di lato 1). Anche la dimostrazione proposta non è più applicabile, perchè prolungando i lati non si forma un triangolo.
Quindi si deve adottare B se vogliamo che la proporzionalità dei lati implichi la similitudine
- hanno i lati in proporzione
- hanno gli stessi angoli
La prima condizione è data.
Per dimostrare la seconda, si possono prolungare i lati obliqui, ottenendo due triangoli. In questi triangoli, i lati ottenuti prolungando i lati obliqui del trapezio hanno lo stesso rapporto dei lati del trapezio, quindi i due triangoli così ottenuti sono simili. Quindi hanno gli stessi angoli, che però sono anche quelli del trapezio.
EDIT Mi accorgo che bisogna intendersi su cos'è un trapezio.
Si può dire:
A - un quadrilatero con due lati paralleli
oppure
B - un quadrilatero con due lati paralleli E due lati NON paralleli
Se si adotta A, i trapezi includono i parallelogrammi. Ma allora la tesi in questione non è vera. Due parallogrammi con i lati in proporzione non sono necessariamernte simili (Es. un quadrato di lato 1 e un rombo di lato 1). Anche la dimostrazione proposta non è più applicabile, perchè prolungando i lati non si forma un triangolo.
Quindi si deve adottare B se vogliamo che la proporzionalità dei lati implichi la similitudine
Grazie mgrau.
@mgrau
Non ho capito cosa intendi per "prolungare i lati obliqui"
Non ho capito cosa intendi per "prolungare i lati obliqui"
Visto che i lati obliqui non sono paralleli (per la definizione B) le rette su cui stanno si incontrano, il trapezio appare come un triangolo tronco.
Non mi è chiaro cosa intendi di preciso ...
In un trapezio se prolunghi i lato obliqui questi si incontrano prima a o poi e formano un triangolo, ok.
Ma qual è il nesso tra la tua figura e il problema? Mi sfugge ...
In questo esempio come dimostri che il secondo non risponde ai requisiti richiesti o meglio se rispetti i requisiti richiesti non ottieni un trapezio ...
In un trapezio se prolunghi i lato obliqui questi si incontrano prima a o poi e formano un triangolo, ok.
Ma qual è il nesso tra la tua figura e il problema? Mi sfugge ...
In questo esempio come dimostri che il secondo non risponde ai requisiti richiesti o meglio se rispetti i requisiti richiesti non ottieni un trapezio ...
Prolungando i lati obliqui fino al punto di intersezione puoi applicare il teorema di Talete, il fascio di rette parallele è dato dalle due basi del trapezio e dalla retta ad esse parallela passante per il punto di intersezione.
Probabilmente non ci capiamo, secondo me manca un passaggio ...
Il secondo quadrilatero del mio disegno ha tre lati proporzionali al primo (uguali, che è lo stesso
) ma quello obliquo ha un angolatura diversa; che l'altro lato obliquo non sia proporzionale al suo omologo è ovvio ma come lo dimostri?
Ovvero a me sembra che partiate dal fatto che nel secondo gli angoli siano gli stessi e QUINDI dimostrate che i lati sono proporzionali; e su questo non c'è dubbio.
È il contrario che mi pare non ancora dimostrato IMHO
Il secondo quadrilatero del mio disegno ha tre lati proporzionali al primo (uguali, che è lo stesso
) ma quello obliquo ha un angolatura diversa; che l'altro lato obliquo non sia proporzionale al suo omologo è ovvio ma come lo dimostri?Ovvero a me sembra che partiate dal fatto che nel secondo gli angoli siano gli stessi e QUINDI dimostrate che i lati sono proporzionali; e su questo non c'è dubbio.
È il contrario che mi pare non ancora dimostrato IMHO
"axpgn":
Probabilmente non ci capiamo, secondo me manca un passaggio ...
a me sembra che partiate dal fatto che nel secondo gli angoli siano gli stessi e QUINDI dimostrate che i lati sono proporzionali; e su questo non c'è dubbio.
È il contrario che mi pare non ancora dimostrato IMHO
Io ho inteso il problema come se l'ipotesi sia la proporzionalità, e la tesi la similitudine, che io ho considerato equivalente all'uguaglianza degli angoli (non che questo basti da sola, ma insieme ella proporzionalità sì)
Continuo a non vedere la dimostrazione in quello che hai scritto, mi pare che non hai solo ipotizzato che i lati siano proporzionali ma anche che gli angoli siano uguali.
Io non dico che la tua idea non funzioni ma semplicemente non la vedo; se prendi il mio disegno e supponi che i lati dei due trapezi siano uguali come dimostri che gli angoli NON possono essere diversi?
Io non dico che la tua idea non funzioni ma semplicemente non la vedo; se prendi il mio disegno e supponi che i lati dei due trapezi siano uguali come dimostri che gli angoli NON possono essere diversi?
L'idea è di dimostrare che dall'ipotesi segue che i triangoli CDE e C'D'E' sono simili, quindi gli angoli in C e C' sono uguali, e così quelli in D e D'. Ora non ho tempo di scrivere i dettagli, magari in seguito
Do anche un'altra dimostrazione, che trovo abbastanza rapida.
ABCD è un trapezio, con base maggiore AB; E è l'intersezione di AB con la parallela a BC per D. Sull'altro trapezio faccio la stessa costruzione ed uso le stesse lettere con apice; $k=(A'B')/(AB)$ è il rapporto fra i lati. Ho
${(A'D'=k*AD),(D'E'=B'C'=k*BC=k*DE),(A'E'=A'B'-C'D'=k*(AB-CD)=k*AE):}$
e quindi i triangoli A'E'D' ed AED sono simili per il terzo criterio di similitudine; ne consegue $hat(A')=hatA$ e
$hat(B')=A' hat(E') D'=A hat ED=hat B$
Gkuìi altri angoli sono supplementari di questi e quindi valgono analoghe eguaglianze.
ABCD è un trapezio, con base maggiore AB; E è l'intersezione di AB con la parallela a BC per D. Sull'altro trapezio faccio la stessa costruzione ed uso le stesse lettere con apice; $k=(A'B')/(AB)$ è il rapporto fra i lati. Ho
${(A'D'=k*AD),(D'E'=B'C'=k*BC=k*DE),(A'E'=A'B'-C'D'=k*(AB-CD)=k*AE):}$
e quindi i triangoli A'E'D' ed AED sono simili per il terzo criterio di similitudine; ne consegue $hat(A')=hatA$ e
$hat(B')=A' hat(E') D'=A hat ED=hat B$
Gkuìi altri angoli sono supplementari di questi e quindi valgono analoghe eguaglianze.
Mi piace 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo