Sfera che rotola
Ciao, purtroppo la protezione antispam non mi consente di proseguire la vecchia discussione, pertanto sono costretto ad aprirne una nuova.
Studiando la tua risposta, che segue:
[quote=cherubino]Prima di iniziare: il fatto che il corpo sia una sfera è ininfluente: in assenza di attrito, non potendo rotolare ma solo strisciare, non è necessario tenere in conto degli effetto della rotazione della sfera su se stessa (che complicherebbero il problema).
Si considera quindi la sfera come un punto materiale (o un corpo il cui momento di inerzia sia trascurabile).
1. Conservazione dell'energia:
la quantità
è costante lungo tutto il moto.
Questo significa che conoscendo i valori della velocità e della posizione in un certo istante (tipicamente quello iniziale), si può calcolare E. Un moto è dinamicamente ammissibile se E non cambia.
Sapendo che all'inizio v_i=0, e y_i = 2R, e alla fine v_f (incognita) e y_f =0, si ricava
da cui v_f = ... (domanda da orale: come mai scegliamo solo un "segno" di v_f ?)
2. Qui bisogna usare esplicitamente
Come sistema di coordinate, conviene usare coordinate polari, con origine nel centro della circonferenza, e angolo \theta che parte dalla posizione "verticale in basso".
Facendo lo schemetto delle forze, e proiettando lungo la direzione radiale e tangenziale, si ottiene l'equazione per la componente radiale della forza:
dove N è la reazione vincolare (convenzionalmente, il vettore N è diretto verso il centro, da cui il segno meno) e l'ultimo termine è l'accelerazione centripeta (segno meno: è diretta verso il centro)
Si ricava quindi
a cui bisogna sostituire il valore \theta = \pi, e il valore della velocità ottenuto al punto precedente per studiare il valore della reazione vincolare N.
3. Qui xico ha fatto una omissione: se la circonferenza non vincola il punto bilateralmente (ovvero, la sfera appoggia sul lato interno della guida, ma niente la tiene fissa alla circonferenza), il moto non è più unidimensionale (ovvero descrivibile da una sola coordinata che parametrizza il piano inclinato e la circonferenza), ma bidimensionale (la sferetta può accedere ad ogni punto interno della circonferenza, quindi servono due coordinate per specificare la posizione).
La condizione da richiedere in questo caso, è che la reazione vincolare sia rivolta "verso l'esterno" quando la sferetta attraversa il punto più alto della circonferenza:
da cui ottieni una disequazione per v, e quindi per h (vedi il punto 1).
Good Work!/quote]
non ho capito una cosa, dove dici
[quote=cherubino]Sapendo che all'inizio v_i=0, e y_i = 2R, e alla fine v_f (incognita) e y_f =0/quote]
ma il testo richiede la velocità quando la palla arriva nella parte più alta della sfera, quindi la posizione finale non dovrebbe essere y_f=2R (come del resto y_i).
Grazie
Paolo
Studiando la tua risposta, che segue:
[quote=cherubino]Prima di iniziare: il fatto che il corpo sia una sfera è ininfluente: in assenza di attrito, non potendo rotolare ma solo strisciare, non è necessario tenere in conto degli effetto della rotazione della sfera su se stessa (che complicherebbero il problema).
Si considera quindi la sfera come un punto materiale (o un corpo il cui momento di inerzia sia trascurabile).
1. Conservazione dell'energia:
la quantità
è costante lungo tutto il moto.
Questo significa che conoscendo i valori della velocità e della posizione in un certo istante (tipicamente quello iniziale), si può calcolare E. Un moto è dinamicamente ammissibile se E non cambia.
Sapendo che all'inizio v_i=0, e y_i = 2R, e alla fine v_f (incognita) e y_f =0, si ricava
da cui v_f = ... (domanda da orale: come mai scegliamo solo un "segno" di v_f ?)
2. Qui bisogna usare esplicitamente
Come sistema di coordinate, conviene usare coordinate polari, con origine nel centro della circonferenza, e angolo \theta che parte dalla posizione "verticale in basso".
Facendo lo schemetto delle forze, e proiettando lungo la direzione radiale e tangenziale, si ottiene l'equazione per la componente radiale della forza:
dove N è la reazione vincolare (convenzionalmente, il vettore N è diretto verso il centro, da cui il segno meno) e l'ultimo termine è l'accelerazione centripeta (segno meno: è diretta verso il centro)
Si ricava quindi
a cui bisogna sostituire il valore \theta = \pi, e il valore della velocità ottenuto al punto precedente per studiare il valore della reazione vincolare N.
3. Qui xico ha fatto una omissione: se la circonferenza non vincola il punto bilateralmente (ovvero, la sfera appoggia sul lato interno della guida, ma niente la tiene fissa alla circonferenza), il moto non è più unidimensionale (ovvero descrivibile da una sola coordinata che parametrizza il piano inclinato e la circonferenza), ma bidimensionale (la sferetta può accedere ad ogni punto interno della circonferenza, quindi servono due coordinate per specificare la posizione).
La condizione da richiedere in questo caso, è che la reazione vincolare sia rivolta "verso l'esterno" quando la sferetta attraversa il punto più alto della circonferenza:
da cui ottieni una disequazione per v, e quindi per h (vedi il punto 1).
Good Work!/quote]
non ho capito una cosa, dove dici
[quote=cherubino]Sapendo che all'inizio v_i=0, e y_i = 2R, e alla fine v_f (incognita) e y_f =0/quote]
ma il testo richiede la velocità quando la palla arriva nella parte più alta della sfera, quindi la posizione finale non dovrebbe essere y_f=2R (come del resto y_i).
Grazie
Paolo
Risposte
se vuoi trovare l'altezza minima, nella parte più alta della circonferenza deve valere la relazione (vettoriale):
F_g - N = 0
dove N è la reazione normale di modulo mv^2/R. quindi F_g e N hanno lo stesso modulo:
F_g = mv^2/R
nota che N è costante durante in tutto il percorso, infatti se ti metti in un sistema di riferimento non inerziale con accelerazione g, puoi notare che la velocità tangenziale resta costante (questo equivale ad annullare l'accelerazione di gravità: l'accelerazione dovuta alla forza normale non ha motivo di variare in modulo). una volta che espliciti v ti basta imporre che l'energia meccanica finale sia uguale all'energia meccanica iniziale, ovvero (visto che alla fine hai energia cinetica + potenziale, mentre all'inizio solo potenziale):
1/2mv^2 + mg(2R) = mgh
dove l'incognita h è il minimo valore dell'altezza iniziale per cui la massa resta vincolata, proprio perchè v è la velocità minima che ha per non cadere nel punto più alto
ps: la sfera non rotola perchè non c'è attrito
F_g - N = 0
dove N è la reazione normale di modulo mv^2/R. quindi F_g e N hanno lo stesso modulo:
F_g = mv^2/R
nota che N è costante durante in tutto il percorso, infatti se ti metti in un sistema di riferimento non inerziale con accelerazione g, puoi notare che la velocità tangenziale resta costante (questo equivale ad annullare l'accelerazione di gravità: l'accelerazione dovuta alla forza normale non ha motivo di variare in modulo). una volta che espliciti v ti basta imporre che l'energia meccanica finale sia uguale all'energia meccanica iniziale, ovvero (visto che alla fine hai energia cinetica + potenziale, mentre all'inizio solo potenziale):
1/2mv^2 + mg(2R) = mgh
dove l'incognita h è il minimo valore dell'altezza iniziale per cui la massa resta vincolata, proprio perchè v è la velocità minima che ha per non cadere nel punto più alto
ps: la sfera non rotola perchè non c'è attrito
...quindi, ricapitolando, applicando il teorema di conservazione dell'energia, l'energia meccanica finale deve essere uguale a quella iniziale, detta energia sara' composta da energia cinetica+potenziale,
l'energia potenziale iniziale mgy avrà come y "h", mentre l'energia potenziale finale avrà come "y" 2R, che sarà il punto più alto raggiunto dalla sfera.
Ho capito qualcosa?
Grazie
Paolo
l'energia potenziale iniziale mgy avrà come y "h", mentre l'energia potenziale finale avrà come "y" 2R, che sarà il punto più alto raggiunto dalla sfera.
Ho capito qualcosa?
Grazie
Paolo
sì esattamente. ti ricordo che quello che devi determinare è h, quindi basta risolvere un'equazione di primo grado
edit: corretto errore nel post sopra
edit: corretto errore nel post sopra
...ottimo ti ringrazio tanto.
Ciao.
Paolo
Ciao.
Paolo
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