Sezione aurea
Salve,
devo risolvere il seguente esercizio:
"Nel triangolo ABC, il lato AB è la sezione aurea di BC e AC è medio proporzionale tra AB e BC. Dimostra che il triangolo è rettangolo."
Quindi so che CB/AB=1.618
Ma cosa s'intende con "AC è medio proporzionale tra AB e BC"? Tra quali lati devo considerare il rapporto aureo?
devo risolvere il seguente esercizio:
"Nel triangolo ABC, il lato AB è la sezione aurea di BC e AC è medio proporzionale tra AB e BC. Dimostra che il triangolo è rettangolo."
Quindi so che CB/AB=1.618
Ma cosa s'intende con "AC è medio proporzionale tra AB e BC"? Tra quali lati devo considerare il rapporto aureo?
Risposte
... mmm ... mi sa che devi ripassare un po' di cose delle medie ... 
Medio proporzionale significa questo ... $AB\ :\ AC\ =\ AC\ :\ BC$
Medio proporzionale significa questo ... $AB\ :\ AC\ =\ AC\ :\ BC$
"axpgn":
... mmm ... mi sa che devi ripassare un po' di cose delle medie ...
Medio proporzionale significa questo ... $AB\ :\ AC\ =\ AC\ :\ BC$
Quindi devo fare un sistema e usare pitagora?
Spiegati meglio, non capisco cosa intendi ... io ho risposto alla domanda che hai fatto: hai compreso ciò che ho scritto?
"axpgn":
Spiegati meglio, non capisco cosa intendi ... io ho risposto alla domanda che hai fatto: hai compreso ciò che ho scritto?
Si per il medio proporzionale ho capito, effettivamente sono saltata alla risoluzione del problema anche se la domanda iniziale era un'altra.
Comunque, per la risoluzionee del problema:
La mia idea era di fare un sistema di equazioni. Per la prima equazione pensavo BC/AB=1.618.
Poi pensavo di usare pitagora (visto che devo dimostrare che l'angolo in A sia retto) e fare qualcosa del tipo
AB^2+AC^2=BC^2. Ma la seconda equazione è un po' confusa e non saprei come procedere per dimostrare il problema
Dalle informazioni che hai puoi descrivere due variabili in funzione della terza, ciò significa che tutti e tre i lati contengono una sola delle tre; sostituendo nel teorema di Pitagora, se la tesi è vera, dovrebbe venirti un'identità.
Prova.
Prova.
"axpgn":
Dalle informazioni che hai puoi descrivere due variabili in funzione della terza, ciò significa che tutti e tre i lati contengono una sola delle tre; sostituendo nel teorema di Pitagora, se la tesi è vera, dovrebbe venirti un'identità.
Prova.
Allora:
AB=x
BC=x*ϕ
AB/AC=AC/AC ↔ x/AC=AC/x*ϕ ↔ AC^2= x^2*ϕ
Ora Pitagora, ma procedendo mi si annullano le x
Ho sbagliato qualcosa?
Ricapitoliamo ...
Poniamo $AB=x$, $AC=y$, $BC=z$
Ipotesi:
$z/x=phi\ ->\ z=phi*x$
$x : y = y : z\ ->\ y^2=xz=x^2*phi$
Tesi:
$x^2+y^2=z^2$
Dimostrazione:
$x^2+y^2=z^2\ ->\ x^2+x^2*phi=x^2*phi^2\ ->\ 1+phi=phi^2$ ma quest'ultima è un'identità quindi tesi dimostrata.
Poniamo $AB=x$, $AC=y$, $BC=z$
Ipotesi:
$z/x=phi\ ->\ z=phi*x$
$x : y = y : z\ ->\ y^2=xz=x^2*phi$
Tesi:
$x^2+y^2=z^2$
Dimostrazione:
$x^2+y^2=z^2\ ->\ x^2+x^2*phi=x^2*phi^2\ ->\ 1+phi=phi^2$ ma quest'ultima è un'identità quindi tesi dimostrata.
"axpgn":
Ricapitoliamo ...
Poniamo $AB=x$, $AC=y$, $BC=z$
Ipotesi:
$z/x=phi\ ->\ z=phi*x$
$x : y = y : z\ ->\ y^2=xz=x^2*phi$
Tesi:
$x^2+y^2=z^2$
Dimostrazione:
$x^2+y^2=z^2\ ->\ x^2+x^2*phi=x^2*phi^2\ ->\ 1+phi=phi^2$ ma quest'ultima è un'identità quindi tesi dimostrata.
Chiarissimo grazie mille!
Per favore, non quotare tutto il messaggio ...
Vorrei mostrare un modo semplice e veloce per dimostrare che ABC è rettangolo, credo che axpg mi perdonerà.
$AB$ parte aurea di ......$=>BC:AB=AB:(BC-AB)=>(AB)^2=(BC)^2-BC*AB$
$AC$ medio proporzionale .... $=>AB:AC=AC:BC=>(AC)^2=BC*AB$
da cui sostituendo:
$(AB)^2=(BC)^2-(AC)^2$ il triangolo è rettangolo di ipotenusa $BC$
$AB$ parte aurea di ......$=>BC:AB=AB:(BC-AB)=>(AB)^2=(BC)^2-BC*AB$
$AC$ medio proporzionale .... $=>AB:AC=AC:BC=>(AC)^2=BC*AB$
da cui sostituendo:
$(AB)^2=(BC)^2-(AC)^2$ il triangolo è rettangolo di ipotenusa $BC$
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