Serie paradossale

[Morpheus 21]

mi sono imbattuto ( meglio dire che me la sono inventata... ) nella somma:

$\sum_{k=1}^infty ((-1)^k)k$ ...

dopodichè ho moltiplicato tutta la sommatoria per 4 ( tanto per vedere che succedeva... )

$-4+8-16+20-24...$

sommando le "coppie" di numeri ottenute "raggruppando" ho ottenuto due risultati differenti:

$(-4+8)+(-16+20)+(-24+... = 4+4+4+4+4+...$
e
$-4(+8-16)+(20-24)+... = -4-4-4-4-4-4-4-4-4-...$

che però in teoria sono la stessa cosa !!!!

da qui poi deriva che

$8(\sum_{k=1}^infty ((-1)^k)k) = 0$ ... !!!!

Dov'è l'errore ???

[dissonance]

Non ho controllato i tuoi conti, ma comunque non è strano che tu ottenga risultati diversi sommando i termini della serie con ordini diversi. Anzi, un teorema di Analisi (alcuni lo chiamano di Riemann-Dini) afferma:
Sia $sum_{n=1}^inftya_n$ una serie di numeri reali convergente non assolutamente. Per ogni numero reale $lambda$ è possibile riordinare la successione $(a_1, a_2, ..., a_n, ...)$ nella $(a_{n_1}, a_{n_2}, ..., a_{n_k},...)$ in maniera tale che $sum_{k=1}^inftya_{n_k}=lambda$.

In sostanza, se una serie converge non assolutamente non solo la somma dipende dall'ordine in cui si prendono gli addendi, ma la dipendenza da questo è talmente profonda che è possibile fare convergere la serie dove si vuole.

[Ale1521]

Si chiamano proprietà commutativa "in piccolo" e proprietà commutativa "in grande" (o almeno la mia prof così le chiamava).
A qualsiasi serie puoi cambiare l'ordine di un numero finito di addendi, e il risultato non cambia.
Per poter cambiare l'ordine di tutti gli addendi, la serie deve soddisfare particolari proprietà (se non sbaglio, l'assoluta convergenza).