Serie numerica con parametro!!

[ale88]

Ciao raga!! scusate il disturbo.... qualcuno potrebbe darmi una mano nel risolvere questa serie numerica.....

[math]\sum_{n=1}^\infty\(-1)^n * \frac{\sqrt{n^x+2}-\sqrt{n^x+1}}{(n^2) *(n^x)}[/math]

Grazie....

[ciampax]

La serie che hai scritto è a segni alterni, quindi va usato il teorema di Leibniz, che qui riporto:

Sia

[math]\sum_{n=n_0}^\infty (-1)^n a_n[/math]

una serie a termini di segno alterno. Se

[math]a_{n}\geq a_{n+1}[/math]

per ogni

[math]n\geq n_0[/math]

e si ha

[math]\lim_{n\rightarrow\infty} a_n=0[/math]

allora la serie converge.

Nel tuo caso

[math]a_n=\frac{\sqrt{n^x+2}-\sqrt{n^x+1}}{n^2\cdot n^x}[/math]

. Iniziamo con il limite: abbiamo, a seconda del valore di

[math]x[/math]

[math]\lim_{n\rightarrow\infty} n^x=\left\{\begin{array}{lcl}
+\infty & & x>0\\ 1 & & x=0\\ 0 & & x-2\\ 1 & & x=-2\\ +\infty & & x-2 \\ \sqrt{2}-1 & & x=-2\\ +\infty & & x-2[/math]

.

Ora, possiamo scrivere

[math]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n^{2+x}\left(\sqrt{n^x+2}+\sqrt{n^x+1}\right)}{(n+1)^{2+x}\left(\sqrt{(n+1)^x+2}+\sqrt{(n+1)^x+1}\right)}[/math]

che diventa, per

[math]x=0[/math]

[math]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n^{2}\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}{(n+1)^{2}\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}=\frac{n^2}{(n+1)^2}n^x[/math]

per

[math]x>0[/math]

, e quindi [math]\frac{1}{(n+1)^x}

[ale88]

Wow!! spiegazione perfetta!! Grazie mille davvero!!!!!!!!!!!!!!!! :D

[ciampax]

Prego, non c'è di che.

[BIT5]

chiuderò, direi che, come al solito, l'intervento di ciampax è stato risolutivo.