Serie e proporzione aurea

[anto_zoolander]

Ciao

studiavo per la tesina e volevo condividere questo risultato che mi sembro grazioso.

${(Phi=(1+sqrt5)/2),(phi=(1-sqrt5)/2):}$ ovviamente non è questo.



il punto di partenza è anche un punto di arrivo: voglio trovare la successione che esprime la lunghezza delle basi dei quadrati che sono così costruiti.

Il punto di arrivo è calcolare la somma delle aree dei quadrati costruiti con quei lati, in successione.

il primo ha lato $1$(o l). Si fa la costruzione aurea e si ricava il numero $(sqrt5-1)/2$ che sarà la base del successivo.
In generale si può dimostrare facilmente che la successione è:

$a_n=[(sqrt5-1)/2]^n$, mentre quella delle aree $b_n=[(sqrt5-1)/2]^(2n)$

mandando a limite la seconda $lim_(N->+infty)b_N=sum_(n=0)^(infty)[(sqrt5-1)/2]^(2n)=sum_(n=0)^(infty)[(3-sqrt5)/2]^(n)$

$sum_(n=0)^(infty)[(3-sqrt5)/2]^(n)=1/(1-((3-sqrt5)/2))=Phi$

detto in breve

$sum_(n=0)^(infty)[phi^2]^n=sum_(n=0)^(infty)[phi+1]^n=Phi$

[bellerofonte02]

Interessante:-)

[anto_zoolander]

Che poi, per quello che sembra, è l'unico modo per costruire un rettangolo partendo da quadrati di lato diverso.