Serie di Taylor

[Mega-X]

Premessa: Ma qui le serie di taylor si studiano nelle superiori? (Avevo fatto un post precedente a questo che tratta dell'integrale $int e^(-x^2) dx$, non vorrei aver sbagliato sezione.. )

Ok, sono alle prese con una serie di Taylor: $1/(a-x)$ il libro mi dice che deve venire $sum_(n=0)^oo x^n/(a^(n+1))$ invece a me viene $sum_(n=0)^oo (-1)^n x^n/(a^(n+1))$

$(-1)^n$ mi esce quando mi calcolo (effetuando prima la sostituzione $X = a-x$) $f^(n)(X)=(d/(dX))^n X^-1$ e a me viene $(-1)^n * n! * X^(-1-n)$, il $(-1)^n$ lo ho messo perché per valori pari di $n$ la derivata è positiva, negativa altrimenti..

Mah a questo punto penso che abbia sbagliato il libro.. Voi che ne dite?

[Kroldar]

$AA a in CC-{0}$ risulta $1/(a-x) = 1/(a(1-x/a)) = 1/a 1/(1-x/a)$ che per $|x|<|a|$ può essere scritta come (serie geometrica)

$1/a 1/(1-x/a) = 1/a sum_(n=0)^(+oo) (x/a)^n = sum_(n=0)^(+oo) (x^n)/(a^(n+1))$

[Mega-X]

hmm però mi pare strano che con il metodo canonico della serie di taylor non esce..

cmq grazie kroldar..

[gigiMat]

Ciao,
io penso che a te venga questo fattore $(-1)^n$ perchè tu tralasci un pezzo importante della derivata composta:
facendo la sostituzione $X=a-x$ hai che $f'(x) = (df)/(dx) = (df)/(dX)(dX)/(dx)$
ora se non mi sbagòlio le derivate ennesime si ottengono iterando il processo di derivazione composta:
$f''(x) = (df)/(d^2x) = (df)/(d^2X)(d^2X)/(d^2x) = (df)/(d^2X)((dX)/(dx))^2$ da cui:
$f^(n)(x) = (df)/(d^(n)x) = (df)/(d^(n)X)(d^(n)X)/(d^(n)x) = (df)/(d^(n)X)((dX)/(dx))^(n)$
perciò la tua derivata viene composta da due elementi: $(df)/(d^(n)X)$ e $((dX)/(dx))^(n)$.
ma $((dX)/(dx))^(n)=(-1)^n$ che aggiunto al risultato da te ottenuto:

$(-1)^n * n! * X^(-1-n) * (-1)^n = n! * X^(-1-n) $ questo ti elimina il (-1)^n

Non sono sicuro dei passaggi differenziali, sicuramente qualcuno potrà darti una defizione più dettagliata.

ciao