Serie Convergenza e dimostrazione

[fal944]

Salve a tutti,
Mi sono imbattuto in un problema apparentemente banale ma che non riesco a risolvere: Su un testo d'esame, la seguente serie viene descritta come convergente

$sum_(n = \1)^(infty) ((-1)^n)/n$

Il numeratore non dovrebbe essere definito, perchè - da come la penso io - dovrebbe spostarsi sempre tra 1 e -1. Applicando il criterio radice n-esima, il denominatore dovrebbe risultare 1.
Quindi non è convergente, bensì indefinita sempre secondo i miei calcoli.
Come potrebbe convergere? Dove sbaglio?

Grazie

[moccidentale]

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[fal944]

"sellacollesella":Assegnata la successione numerica: \[
a_n = \frac{(n-1)^n}{n}
\] affinché sia ben definita dovrà essere \(n-1 \ge 0\) e \(n\ne 0\), ossia basta che sia \(n \ge 1\).

D'altro canto, condizione necessaria per la convergenza della serie numerica: \[
\sum_{n=1}^{+\infty} a_n
\] è che risulti: \[
\lim_{n +\infty} a_n = 0\,.
\] In questo caso quel limite risulta \(+\infty\) quindi la convergenza ce la possiamo scordare.

Inoltre, essendo \(a_n\) a termini non negativi, allora di sicuro la serie diverge positivamente.

Grazie dell'aiuto tempestivo, avevo sbagliato il testo, che ora è corretto.
Scusami!

[moccidentale]

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[fal944]

Certo, ma una delle ipotesi non è che $a_n$ cioè nel mio caso $1/n$ sia convergente? E $1/n$ essendo la serie armonica non lo è...

[moccidentale]

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[fal944]

"sellacollesella":[quote="fal944"]Una delle ipotesi non è che $a_n$, cioè nel mio caso $1/n$, sia convergente?

No, non è così.

Data la serie numerica \(\begin{aligned}\sum_{n=0}^{+\infty}\end{aligned} (-1)^n\,b_n\):

[*:2r0v23ql] se \(b_n\) è infinitesima per \(n \to +\infty\), ossia se \(\begin{aligned}\lim_{n \to +\infty}\end{aligned} b_n = 0\);

[/*:m:2r0v23ql]
[*:2r0v23ql] se \(b_n\) è definitamente non negativa e decrescente per \(n \to +\infty\), ossia
se esiste un \(n_0 \in \mathbb{N}\) tale che risulti \(0 \le b_{n+1}\le b_n\) per ogni \(n \ge n_0\);[/*:m:2r0v23ql][/list:u:2r0v23ql]

allora il criterio di Leibniz garantisce la convergenza della serie.

I "criteri" non sono altro che dei teoremi e in quanto tali valgono sotto precise ipotesi.[/quote]

Grazie!

[moccidentale]

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[@melia]

Sto poco bene, quindi prendete con le pinze quello che dico. Io trasformerei la serie in una a segno positivo isolando il $-1$ e sommando due a due i termini successivi. Poi, ne verificherei la convergenza trovando una serie geometrica maggiorante e convergente. Mi pare che $Sigma (1/2)^n$ funzioni.

[moccidentale]

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[@melia]

I primi termini sono $-1+1/2-1/3+1/4-1/5+...$, isolando il $-1$ diventa $-1+(1/2-1/3)+(1/4-1/5)+(1/6-1/7)+...$ quindi $-1+1/6+1/20+1/42+...$ che tradotto dovrebbe dare $-1+Sigma_(n=1)^(+oo) 1/(2n*(2n+1))$

[moccidentale]

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[fal944]

Quindi si può risolvere anche come ha detto Melia, ottimo! Detto in parole povere per un ignorante come me, basta isolare il $-1$ iniziale e costruire la serie sui successivi?

P.S. Grazie @sellacollesella per i suggerimenti/curiosità espressi nel messaggio precedente, molto utili e interessanti!