Serie Armonica Generalizza
Come faccio a dimostrare che per alfa=1 la serie armonica generalizzata diverge? Ho provato a guardare la dimostrazione proposta sul mio libro di analisi ma non l'ho capita molto bene.... Grazie mille ....
Risposte
Ti segnalo questo:
http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_armonica
quella che volevo darti io è quella che si chiama "prima dimostrazione". Quando si parla di serie armonica generalizzata, se $\alpha=1$ sarebbe il caso della serie armonica "punto e basta"
.
In pratica il succo è
$1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+...+1/16+...$ $=$
$=$ $1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+(1/9+...+1/16)+...$ $\ge$ $$ $$ $$ il passaggio chiave è questo
$\ge$ $1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+(1/16+...+1/16)+...$ $=$
$=$ $1+1/2+$ $(1/2)$ $+$ $(1/2)$ $+$ $(1/2)$ $+...$
Il succo è che si possono maggiorare le frazioni che non sono potenze del 2 con altre frazioni che sono le potenze del due successive.
Uhm, non so se si è capito.
In altre parole, preso un termine della serie che indico come $1/n$ (con $n\ge 1$):
$\to$ $1/n$ $=$ $1/n$ se $n=2^k$ con $k$ naturale;
$\to$ $1/n$ $\ge$ $1/2^k$ se $2^k-1 \le n \le 2^k$ con $k$ naturale.
Non ci sono problemi di segni di disequazione perché si maggiorano termini positivi con altri termini positivi.
Da cui si ottiene che la seconda serie (quella dopo la maggiorazione, in pratica "$1+$ un numero infinito di $1/2$") diverge perché è una somma infinita di termini uguali e positivi. La prima, dunque, diverge perché è maggiore della seconda... (un caso del teorema dei due carabinieri se non ricordo male dal liceo...).
PS. Questa è la via "non formale" della dimostrazione ed è la più semplice per dimostrare quello che chiedi. Ce ne sono molte altre che però presuppongono conoscenze un po' al di sopra del liceo.
http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_armonica
quella che volevo darti io è quella che si chiama "prima dimostrazione". Quando si parla di serie armonica generalizzata, se $\alpha=1$ sarebbe il caso della serie armonica "punto e basta"
.In pratica il succo è
$1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+...+1/16+...$ $=$
$=$ $1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+(1/9+...+1/16)+...$ $\ge$ $$ $$ $$ il passaggio chiave è questo
$\ge$ $1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+(1/16+...+1/16)+...$ $=$
$=$ $1+1/2+$ $(1/2)$ $+$ $(1/2)$ $+$ $(1/2)$ $+...$
Il succo è che si possono maggiorare le frazioni che non sono potenze del 2 con altre frazioni che sono le potenze del due successive.
Uhm, non so se si è capito.
In altre parole, preso un termine della serie che indico come $1/n$ (con $n\ge 1$):
$\to$ $1/n$ $=$ $1/n$ se $n=2^k$ con $k$ naturale;
$\to$ $1/n$ $\ge$ $1/2^k$ se $2^k-1 \le n \le 2^k$ con $k$ naturale.
Non ci sono problemi di segni di disequazione perché si maggiorano termini positivi con altri termini positivi.
Da cui si ottiene che la seconda serie (quella dopo la maggiorazione, in pratica "$1+$ un numero infinito di $1/2$") diverge perché è una somma infinita di termini uguali e positivi. La prima, dunque, diverge perché è maggiore della seconda... (un caso del teorema dei due carabinieri se non ricordo male dal liceo...).
PS. Questa è la via "non formale" della dimostrazione ed è la più semplice per dimostrare quello che chiedi. Ce ne sono molte altre che però presuppongono conoscenze un po' al di sopra del liceo.
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