Serie

[Luca114]

Buongiorno, non riesco a risolvere questa serie:

$sum_() log^3n/n^2$

Secondo me ci vuole un confronto, peró non capisco con quale serie...

[Berationalgetreal]

Ti conviene utilizzare il criterio di condensazione di Cauchy. Infatti, la derivata della funzione \( f(x) = \frac{ \ln^3 x}{x^2} \) è:

\[ \frac{ \text{d}}{\text{d} x} \left ( \frac{\ln^3 x}{x^2} \right ) = \frac{(2 - 3 \ln x) \ln^2 x}{ x^3} \]

Questa è negativa (per \(x > 0 \) e definitivamente), quindi la successione corrispondente è decrescente. E' verificata la condizione necessaria per applicare il criterio di condensazione. Dunque:

\[ \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{ \ln^3 n}{n^2} < + \infty \iff \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{ 2^n n^3 \ln^3 2}{2^{2n}} = \ln^3 2 \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{n^3} { 2^n} < +\infty \]

Quest'ultima converge per il criterio della radice. Infatti:

\[ \lim_{n \to +\infty} {\sqrt[n]{\frac{n^3}{2^n}}} = \frac{1}{2} < 1 \]

Dunque, la serie:

\[ \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{ \ln^3 n}{n^2} \]

è convergente.

[cooper1]

puoi confrontare direttamente con la serie armonica modificata:
$ sum 1/(n^(alpha)log^(beta)n) $
che converge per:
1. $alpha > 1, AA beta$
2. $alpha = 1, beta > 1$

@Berationalgetreal: non hai sostituito il $2^n$ a denominatore.
ciò che otterresti sarebbe:
$ sum n^3/2^n $ che converge per esempio con il criterio della radice ($1/2 < 1$)

[Berationalgetreal]

"cooper":puoi confrontare direttamente con la serie armonica modificata:
$ sum 1/(n^(alpha)log^(beta)n) $
che converge per:
1. $alpha > 1, AA beta$
2. $alpha = 1, beta > 1$

@Berationalgetreal: non hai sostituito il $2^n$ a denominatore.
ciò che otterresti sarebbe:
$ sum n^3/2^n $ che converge per esempio con il criterio della radice ($1/2 < 1$)

Sì, me ne ero accorto. La modifica era già pronta ma non avevo connessione. Adesso l'ho corretto