$sen^3x$?

[Raphael1]

Prese le $x in (0; \pi/2)$ devo discutere al variare di $k in R$ questo:

$frac{senx cos^2x}{sen^3x+1}=k$ ma non so come riuscire ad eliminare quel $sen^3$ al denominatore, magari qualcuno ha un suggerimento oppure ha un altro modo di procedere? grazie

[Raphael1]

ho risolto da solo.... grazie lo stesso.. che stupido che sono stato! bastava scomporre e sostituire al numeratore al posto di $cos^2$ $1-sen^2$

[G.D.5]

Sono curioso: puoi mostrarmi come hai risolto, in particolare come hai semplisicato il LHS e a cosa si è ridotto?

[Raphael1]

Allora io ho fatto così:

$frac{senx cos^2x}{sen^3+1}=k$

per risolverlo sostituisco al numeratore $cos^2x=1-sen^2x=(1+senx)(1-senx)$ e al denominatore scompongo $sen^3x+1=(senx+1)(sen^2x-senx+1)$

Quindi ottengo:

$frac{senx(1-senx)(1+senx)}{(senx+1)(sen^2x-senx+1)}=k$. Essendo $x in (0, \pi/2)$ si ha $senx+1 ne 0$ quindi posso semplificarlo e ottenere

$frac{senx(1-senx)}{sen^2x-senx+1}=k$

A questo punto, poichè $sen^2x-senx+1 ne 0$ perchè irriducibile, ottengo

$senx-sen^2x=k(sen^2x-senx+1)$

A questo punto per discutere le soluzioni al variare di $k$ pongo $Y=sen^2x, X=senx$ e ottengo il seguente sistema:

${[Y=X^2] ; [X-Y=k(Y-X+1)] ; [0

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[Raphael1]

Allora io ho fatto così:

$frac{senx cos^2x}{sen^3+1}=k$

per risolverlo sostituisco al numeratore $cos^2x=1-sen^2x=(1+senx)(1-senx)$ e al denominatore scompongo $sen^3x+1=(senx+1)(sen^2x-senx+1)$

Quindi ottengo:

$frac{senx(1-senx)(1+senx)}{(senx+1)(sen^2x-senx+1)}=k$. Essendo $x in (0, \pi/2)$ si ha $senx+1 ne 0$ quindi posso semplificarlo e ottenere

$frac{senx(1-senx)}{sen^2x-senx+1}=k$

A questo punto, poichè $sen^2x-senx+1 ne 0$ perchè irriducibile, ottengo

$senx-sen^2x=k(sen^2x-senx+1)$

A questo punto per discutere le soluzioni al variare di $k$ pongo $Y=sen^2x, X=senx$ e ottengo il seguente sistema:

${ [Y=X^2] , [X-Y=k(Y-X+1)] , [0
Disegno l'arco di parabola che mi interessa e considero i punti limite $A(0,0),B(1,1)$.
Per questi due punti passa la retta del fascio improprio determinata dal valore k=0. Disegno anche la retta per $k$ tendente a infinito.
Per concludere è necessario calcolare il valore del parametro $k$ che determina la tangente alla parabola:

$(k+1)X^2-(k+1)X+k=0$ impongo $\Delta=0$ quindi ottengo $(k+1)^2-4k(k+1)=(k+1)(1-3k)=0$ che implica $k=frac{1}{3}$ poichè $k=-1$ non è accettabile.

Allora osservando il grafico (che ho sul foglio) posso concludere che si hanno due soluzioni per $0

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[G.D.5]

Interessante.

Perdona la mia ignoranza: questo sarebbe il metodo della parabola fissa per la discussone delle equazion parametriche?

Te lo chiedo perchè al liceo l'unico metodo che ho studiato è quello della circonferenza goniometra.

[Paolo902]

"WiZaRd":Interessante.

Perdona la mia ignoranza: questo sarebbe il metodo della parabola fissa per la discussone delle equazion parametriche?

Penso si riferisca a qualcosa del genere: supponi di dover discutere (invento quindi non so i risultati... )
${[(k+1)x^2+kx-5=0], [0 Evidentemente la prima equazione rappresenta un fascio di parabole; per semplificarti la vita puoi porre
${[y=x^2],[(k+1)x^2+kx-5=0], [0 cioè sostituendo
${[y=x^2],[(k+1)y+kx-5=0], [0 Il sistema ora è molto più agevole: si tratta di discutere il numero di intersezioni di una parabola fissa ($y=x^2$) con un fascio di rette (seconda equazione) in un intervallo (terza equazione).

Spero di aver capito cosa volevi dire e di essermi spiegato bene. Tuttavia, se eventuali dubbi persistessero non esitare a postare.

Ciao,

Paolo

[G.D.5]

Credo di sì.

Ho anteposto il credo perchè, ripeto, non ho studiato il metodo della parabola fissa, ma mi sembra che questo possa andare perchè in effetti c'è una parabola fissa.

Grazie.

[Paolo902]

Figurati.

Paolo

[Raphael1]

eh sì è proprio la parabola fissa!

[G.D.5]

Va bien